Re: [積分] 有e和ln的一些題目

[rygb (再生)]

※ 引述《four26 (426)》之銘言：
: 小弟不才 對於積分出現e和ln就會手足無措
: 現在在自學微積分遇到了下面這些問題都很困擾我
: 能否請版上的高手寫出詳細的計算過程讓小弟能領悟 謝謝
: 1.
:  1 y
: ∫∫(y^2)(e^xy) dxdy
:  0 0

      1 y
   = ∫∫y(e^xy) dxydy
      0 0
       1         |x=y
   =  ∫ y(e^xy) |     dy
       0         |x=0
       1   (y*y)         1  (y*y)  1  2   1
   =  ∫ ye     -y dy = ∫ e     d---y  -∫ y dy
       0                 0         2      0
        2
       y   2      1    |y=1               1
   = (e - y  )* -----  |     = (e - 2) * ---
                  2    |y=0               2


: 2.
: ln2 0
: ∫ ∫2xe^y dxdy 上下界常數，且函數可分離
:  0 -1

    0         ln2  y        2 |x= 0       y |y= ln2
 =∫   2xdx *∫   e  dy =  x  |       *  e  |       = (0-1)* (2-1) = -1
    -1         0              |x=-1         |y=  0

 抱歉，第一次使用分離法，上下界沒對好，已修正。

: 3.
: ln2 1                 x+y    x     y
: ∫ ∫e^x+y dxdy    ∵e   =  e  * e   ,且函數可分離和上下界常數
:  0  0

     ln2   y      1 x
  = ∫    e dy* ∫ e dx
     0            0

      ln2    0     1   0         ln2     -1 指對數互為反函數
  = (e    - e  ) (e - e  )      e    = ln   (ln2) = 2
      1
  =  e  - 1


: 4.
:  4 3 2
: ∫∫∫(lnx)^2/x^2 dxdydz
:  1 1 1

 如同前面所說 可分解成                            Integral by parts
           2     2    2          2      2   - 1      lnx*lnx|x=2   2 6       2
  = 3 * 2 ∫(lnx)  / x  dx  = 6 ∫ (lnx)  d ---  = 6 -------|    +∫---d(lnx)
           1                     1           x         -x   |x=1   1 x
            2
       (lnx)     -12*lnx         -1 |x=2             2
  = 6 -------  + -------  + -12 x   |       = -3(ln2)  -6(ln2) - 6 -(-12)
        -x          x               |x=1             ∵ln1 = 0

           2
  = -3(ln2)  - 6 (ln2) + 6

: 板上的高手對於e和ln有什麼撇步嗎??

熟悉指數對數律即可。

還有記得他們互為反函數關係。




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.34.122.244
推 four26:第一題為何可以同時dxdy呢???我都是自學的
→ four26:不太懂箇中道理 煩請賜教 謝謝
→ hsnuyi:原PO 你微積分學到哪去了 第1,2題是怎麼了?
→ hsnuyi:d(xy) = ydx + xdy...
※ 編輯: rygb            來自: 114.34.122.244       (06/01 21:33)
→ rygb:抱歉 打完沒有檢查到錯誤 已修正
→ rygb:你是要問d(xy) 還是dxdy? 不太懂你的問題
→ four26:d(xy)的部分 為何y^2的2次方會在那一式不見
→ rygb:我將一個y移進去
→ rygb:因為在對x積分時y是視為常數
→ four26:謝謝 突然腦筋轉不過來 懂了!