: 如果從空中鳥看，大圓(球)包小圓(柱)
: 大圓 R = 2
: 小圓 R = 1
: 以小圓為積分對象，高度對面積積分=體積
: 高度 = 2 * sqrt(2^2 - r^2)
: r 從 0 積到 2 sin(θ)
: θ 從 0 積到 π (注意，不是2π，
: r=2 sin(θ) , 0<θ<π 即為一個半徑為1的圓，圓心點在 (0,1))

      π 2sinθ (4-r^2)^(1/2)             π 2sinθ
V = 2∫    ∫        ∫      rdzdrdθ = 2∫    ∫  r(4-r^2)^(1/2)drdθ
      0     0         0                   0     0

   -2  π             |2sinθ      -4 π/2
= ----∫ (4-r^2)^(3/2)|     dθ = ---- ∫ [8(cosθ)^3 - 8]dθ
    3  0              |0            3   0

   -32  π/2                         π
= -----{ ∫ [1-(sinθ)^2]d(sinθ) - ---}
    3     0                          2

   -32           (sinθ)^3  |π/2   π     -32        1     π     16π    64
= -----{[sinθ- -----------]|    - ---} = -----( 1 - --- - ---) = ----- - ----
    3                3      |0      2       3         3     2       3       9

: 最後答案是
:                            16      64
:                            -- π - --
:                            3        9
: Well，如果是我搞錯就不好意思了，
: 看了這題我參考一些課本，算了好幾次，
: 總覺得theta如果從0積到pi最後出來的答案是沒有-64/9這項的
: 是我積錯了嗎??
: 還是這裡面有甚麼我沒注意的細節呢??

從0積到π 要小心cosθ的正負

此題同為台大90學年度轉學考 微B計算第一題

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推 Indigoa:喔~~~~原來是正負號!嗯嗯!我知道哩謝謝耶~
→ Indigoa:順便問一下是不是積分一個長度為pi的區間
→ Indigoa:就OK,因為積-pi/2~pi/2也是答案
→ hsnuyi:不一定喔~ 請畫圖
推 Indigoa:嗯哼只要區間內畫出來圍出一個圓就OK了吧
→ hsnuyi:嗯~ 建議是當使用極座標時r>=0啦
推 Indigoa:OK~總之最重要的還是提醒我正負號了~3Q囉!
※ 編輯: hsnuyi (118.160.162.14 臺灣), 09/13/2019 17:04:07