[積分] 一題關於線積分與Green定理的運用

[Ricrollp (刀控)]

題目：
    2
∫ x ydx+xydy where C is the polygonal path from (1,0)to(1,1)to(0,1)
 c

這題利用定C1:r=i+uj C2:r=(1-u)i+j 再將兩者線積分相加可得解 1/6


我想請問的是我試著用Green Theorem解
   2                    1 1      2
P=x y  Q=xy   做出原式=∫∫   y-x  dydx
                        0 1-x

然而該式積分出來答案卻是1/12

想請問一下為什麼會不一樣呢?


另外想請問一下為什麼訂定這樣的C1與C2呢?
               2                     2
若給定的C為y=2x     那是不是定r=ui+2u j 即可呢?


謝謝

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◆ From: 140.116.131.100
推 batata:(1,0)to(1,1)to(0,1) 是不封閉路線
→ batata:而你要用GREEN時要封閉路線 所以不一樣
→ Ricrollp:亦即題目多邊形不代表封閉路線的涵義嗎?
→ batata:應該是這樣@@ 我也是116的!!一起加油
→ Ricrollp:謝謝指導^^
→ batata:可是你兩條路線沒有回到原點 不算封閉吧
→ Ricrollp:那如果再加一個回到原點的路徑是否要C3呢
推 batata: 要吧 可是那樣還是沒封閉
→ batata:我的做法是畫一個正方形 green定理上下限
→ batata:都是0~1 算出來就是1/6 但是還要扣掉
→ batata:(0.1)>(0.0)>(1.0)兩條路線 剛好都是0
→ batata:有錯請神手指正
→ Ricrollp:若做一個(1.0)到(0.1)的線也是封閉
→ Ricrollp:我試著用C3 r=ui+(1-u)j去解
推 batata:對對 那樣也可!!!算出來是-1/12
→ batata:移項+1/12=1/6 就對了阿
→ batata:如果你c3 是(0.1)>(1.0)的話
→ Ricrollp:這樣可以解出一樣的答案
→ batata:c1+c2+c3=green的結果囉
→ Ricrollp:感謝 功德圓滿=ˇ=
→ batata:水!!
→ Ricrollp:痛快~