Re: [張爸] 不等式証明一題、積分一題

[alasa15 (alasa)]

※ 引述《nosignal90 (NoSignal)》之銘言：
: 1.
: http://ppt.cc/bb!W
: 我自己算是積不出來（？）
: 然後剛才丟到可以算微積分的網頁給它跑，它也沒有跑出答案（F5很多次都一樣）
: 所以是……積不出來嗎o_o？


  ∞   dx      ∞  d(lnx)   ∞  du                        ∞ du
  ∫-------- = ∫-------- = ∫------ diverges  (consider ∫----- )
  1 xln(lnx)   1  ln(lnx)   0  lnu                        0  u



: 2.
: 證明
:          2
:         x
: x －  ----- < ln(1+x) < x
:         2
: 這題我剛才有爬一下文，有找到解法，但資質駑鈍看不太懂Orz
: 我有試著用均值定理証出來 ln(1+x)< x　
: 現在卡在怎麼証
:          2
:         x
: x －  ----- < ln(1+x)  這段
:         2
: 感謝各位：）


Let F(x)=ln(1+x)-x+x^2/2

F(0)=0

F'(x)= 1/(1+x)-1+x = x^2/(1+x) >0 as x>0

=> F(x)>0 as x>0

=>ln(1+x)>x-x^2/2


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.249.2.245
推 nosignal90:感謝a大,不等式的題目其實還是有點不懂
→ nosignal90:(大概是太不熟了ˊˋ)想請問為什麼會想
→ nosignal90:要這樣設呢?
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小結果


If f'(x)>0 as a<=x<=b

then f(x)>f(a) as a<x<b


pf:Let x=a+h, h>0

f(x)-f(a)=f(a+h)-f(a)=f'(q)*h>0

=>f(x)>f(a) as a<x<b

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因為 f(x)-g(x)>0 <=> F(x)=f(x)-g(x)>0

然後在對F(x)用上面那個小結果就可以了

這只是一個特定方法 就學起來吧 不錯用的


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※ 編輯: alasa15         來自: 114.44.180.198       (06/23 12:30)
→ alasa15:可以參考8642
推 nosignal90:好的,再次感謝a大:)