推 fong1014:推~我也是這樣做,但我啟始沒考慮均勻收斂 59.115.18.35 08/30 08:42
→ PaulErdos:也沒差 均勻收斂很明顯 只是寫一下 140.112.4.183 08/30 14:21
※ 引述《si1023 (0)》之銘言：
: 00
: ∫ exp-[ x^2+(a^2/x^2)] dx =
: 0
: 書中附解 e^(-2a)*(sqrt(pi)/2)
2 a^2
-( x ＋ ── ) 2
∞ x^2 ∞ -x ＿
I(a)＝∫ e dx ≦ ∫ e dx ＝ √π/2
0 0
所以I(a) 是均勻收斂的
而
2 a^2 2 a^2
-( x ＋ ── ) -( x ＋ ── )
∞ ∂ x^2 ∞ -2a x^2
∫ ── e dx ＝ ∫ ── e dx
0 ∂a 0 x^2
(令 t＝a/x )
2 a^2
-( t ＋ ── )
∞ t^2
＝ -2 ∫ e dt ＝-2I(a)
0
所以也是均勻收斂的
於是
2 a^2 2 a^2
-( x ＋ ── ) -( x ＋ ── )
d ∞ x^2 ∞ ∂ x^2
I'(a)＝─ ∫ e dx ＝ ∫ ── e dx ＝ -2I(a)
da 0 0 ∂a
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這兩個瑕積分已經確認是均勻收斂,所以等號成立
於是解微分方程 I'＝-2I
-2a
得I(a)＝C e
2
∞ -x
而I(0)＝C＝ ∫ e dx ＝ √π/2
0
＿
√π -2a
所以I(a)＝── e
2
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