Re: [其它] 極限證明及導數問題(個人對證明有疑慮)

[BaBi (卑鄙)]

※ 引述《lirick42 (卡賓depon)》之銘言：
: 1.由導數定義求，f'(2)=?
:   f(x)=(1/2x-1)
: 2.適用極限定義求 lim(2x+4)=10
:                  x→3
: 第一題我看著定義也不知道要怎麼寫
: 第二題我有個疑問是，這到底要證明甚麼？
: 把x帶入不就是等於10了嗎?
: 那要我證明甚麼??
: 我不太知道，怎麼由定義去求...

1.
  A.定義:
                 f(a+h) - f(a)          f(x) - f(a)
    f'(x) = lim --------------- = lim ---------------
            h->0       h          x->a     x - a

    定義式由函數圖形上割線及切線斜率關係導出，不贅敘，
　　一般原文書上都有說明。


  B.由定義式解之
                       1             1
                 ------------ - -----------
                  2(2+h) - 1      2(2) - 1
    f'(a) = lim ----------------------------
            h->0             h


                     1         1
                 --------  -  ---
                  (3+2h)       3
          = lim ------------------
            h->0         h


                 3 - (3+2h)
          = lim ------------
            h->0  3(3+2h)h


                    -2h
          = lim -----------
            h->0  3(3+2h)h


                    -2          -2       -2
          = lim ---------- = -------- = -----
            h->   3(3+2h)     3(3+0)      9



2.

  因為在最起初時, 極限的定義如下

    => lim f(x) = L 是指當 x 十分靠近 c (但不等於 c ) 時，
       x->c

　     f(x)的值會很靠近 L

　但上述的「十分靠近」，每個人對於這靠近的定義都不同，
　比如一個機械工程師，靠近的精密程度可以到0.000001mm
  但以小孩來說，可能1cm就已經很靠近了。

　所以 Cauchy 才提出較為嚴謹的方法，以不等式和邏輯推導的方式
　來定義「極限」的概念。

　主要目的是，當你給定一個ε> 0時，可以找到對應的δ>0 使得當

  0 < | x - a | < δ時，| f(x)- b | < ε 成立。

　　

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.135.26.115
→ BaBi:第二題，只要過程符合邏輯推論就可以了…
→ BaBi:每一本原文書上寫的, 也都不一定相同
→ BaBi:不知道原po有沒有開始看交大開放式課程..
→ BaBi:極限的證明, 算是有些抽象的概念...
→ BaBi:莊教授在上的時候應該就有先說要花一點心思了
→ BaBi:以上....有錯請指出, plz~