Re: [微分]三角反函數

[julang (君語)]

我想你可能還沒搞懂反函數的定義

1.先從最基本的定義開始

首先 若我們寫一個函數,假設 y=f(x) =2tanx 指的是 當x=某個值 對應的y為多少
                                -1
相反的,y=f(x)=2tanx的反函數Y=  f (X)意謂的是 當我給定f(x)的y值時 對應的x值
                                                           -1
反函數這邊Y和X都和原本函數的x,y不一樣,只是科學家仍然習慣 y=f(x)的表示方式
               兀         兀                 -1       兀
舉例來說, y=f(----)= 2tan(---)=2 *1 =2, 所以f  ( 2 )= ---
               4           4                           4
而一般而言,反三角函數有比較簡單的表示法
            -1
也就是 y= tan  x 指的是當 x=某個值時,哪個y取tan會等於x

2.

         -1
因為f ( f (x) )= x

        -1              -1         -1
   d f( f(x) )     df( f(x) )   d( f(x) )     d
=> -----------  = ------------ ---------  =  ---(x) =  1 (chain rule)
     dx             df(x)         dx          dx

    d      -1             1
=> ---- ( f (x) ) = --------------
    dx                    -1
                      df( f(x) )
                      ----------
                       d f(x)

                 -1        -1    x                2
今 f(x)=2tanx , f  (x)= tan   ( ---) => f'(x)=2 sec x
                                 2
       -1
=> d  f  (x)             1                   1                2
   --------  = --------------------- = ------------------ = -------
   dx               2     -1   x                x                 2
                2 sec ( tan ( --- ))    2 ( 1+(---)^2 )      4 + x
                               2                2

                     2           2             -1  x        x
中間那一步,是因為 sec  x = 1 +tan x ,而 tan(tan  (---)) =  ---
                                                   2        2

3.備註

事實上所有 反三角函數 及自然指對數函數的微分都應該當作基本公式

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◆ From: 114.26.161.79
※ 編輯: julang          來自: 114.26.161.79        (12/07 19:35)
推 kanonehilber:推備註
推 znmkhxrw:在證法中，先假定反函數可微，才能chain
→ znmkhxrw:至於嚴謹話應該要用反函數定理吧
→ julang:反函數存在=>f(x)一定是1-1函數
→ julang:所以f'(x)必定有不為零的區間
→ julang:這樣不是由反函數存在條件
→ julang:就保證反函數會有可微的區間嗎?
推 blak:感謝^^
推 znmkhxrw:就算f'(x)不為零，怎麼說反函數可微??
→ julang:在某一點可微,就是旨在該點微分存在
→ julang:既然反函數與原函數合成是恆等式
→ julang:同時微分,也會是在某個區間的恒等式
→ julang:又f'(x)不恆為0,故反函數微分存在(即可微)
→ BaBi:那這樣的前提就是原函數可微?
→ BaBi:再者有反函數存在, 由於一對一映成, 故可推
→ BaBi:得反函數微分存在...囉?
→ BaBi:又由反函數的合成概念, 由Chain Rule導證公式
→ julang:對,只要f(x)可微,其反函數必定有可微的區間
→ julang:另種觀點,f(x)在某點可微,由微分的定義
→ julang:它會在那點連續而且左導數等於右導數
→ julang:即:f(x)在該點smooth
→ julang:反函數只是將它沿y=x作對稱
→ julang:不會破壞原本smooth的特性
推 znmkhxrw:"f(x)可微,其反函數必定有可微的區間"why
→ BaBi:因為反函數和原函數的特性, 一對一映成
→ BaBi:且具 x = y 對稱, 於若原函數於該區間內可微
→ BaBi:即區間內曲線各點之切線斜率存在且唯一, 故由
→ BaBi:具 x = y 對稱可得, 其反函數之切線斜率存在
→ BaBi:但...會不會出現恰好映成至反函數後, 切線為
→ BaBi:鉛直線呢? 這樣仍稱為可微嗎?
→ julang:我額外提的觀點,比較直觀,無法真正解釋
→ julang:只能某種程度解釋反函數是否能微分的問題
→ julang:另外 ,切線不可能為垂直線
推 znmkhxrw:我會問這個問題是因為很久之前有想過
→ znmkhxrw:有沒有不要用到反函數定理而去證明這件事
→ znmkhxrw:"f(x)可微且不等於0,則反函數在該點可微"
→ znmkhxrw:當時想很久都缺了些條件
→ julang:垂直線的斜率為無窮大
→ znmkhxrw:所以我才問~~嚴謹證明除了反函數定理
→ znmkhxrw:有其他的媽??
→ julang:在某點可微是指該點導數=某個有限值
→ julang:znmkhxrw大,反函數定理是指什麼?
推 znmkhxrw:高微後面才會講的大定理
→ znmkhxrw:敘述的話wiki有~~太長了XD
→ znmkhxrw:簡單來說就是：一個C^1函數如果在某一點
→ znmkhxrw:微分不為零，則存在一個鄰域使得這個函數
→ znmkhxrw:在這個鄰域有C^1的反函數
→ julang:我不是數學背景的,論嚴謹性我不大清楚
→ znmkhxrw:因為chain rule的前提是，f,g都要可微
→ znmkhxrw:所以f(f^(-1)(x))這個要做chain rule
→ znmkhxrw:必須確定f^(-1)(x)可微
→ julang:我認為 ,如果能證明反函數夠平滑,也能說明
推 znmkhxrw:今天看Marsden的高微，他確實有證明了
→ znmkhxrw:先證明f^(-1) is conti.