Re: [積分] 極限

原文恕刪

          x      2
let f(x)=∫ cos t dt   and   g(x)=x
          0
then f(x)→0 and g(x)→0 as x→0

             f'(x)
since  lim  ------
       x→0  g'(x)

           d     x      2
          ---  ∫  cos t dt
           dx   0
 =lim    ----------------------
  x→0     d
          ---   x
           dx

              2
 = lim ( cos x )
   x→0

 =1   (exist!!)

and g'(x)=1≠０ on an open interval containing 0


By L'Hospital Rule

         f(x)          f'(x)
so  lim  ----  =  lim ------  =  1
    x→0 g(x)     x→0 g'(x)

那請問這樣寫是正確的嗎?

最後附上L'Hospital Rule wiki

http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.62.161
推 a016258:如果把 g'(x)在0附近不為0寫進去就更完美~
→ a016258:了~ 不過考試遇到極限題目都直接等於...鮮
→ a016258:少在驗證這些的...XD
→ yhliu:為什麼一定要用 L'Hopital's rule?
感謝a大的補充！！

回應y大的問題：
也不是說一定要用，只是我認為能從各個角度來解決問題是很棒的一件事，定義的方法我
知道是正確的，但並不是所有修微積分的學生都能想到，我想大多數的人看到０／０也會
想到羅必達。或許就講講最簡單的例子就好（畢氏定理或稱商高定理），也是有無數人用
各種方法去解決它，我不認為這些其他的方法是無意義的，相反的，反而能開拓視野，讓
人可以從更多的角度來了解它、欣賞它。
※ 編輯: sm008150204     來自: 140.113.62.161       (12/20 11:15)
→ ricestone:他是指L'Hopital's rule已經用到了f'(0)
→ ricestone:所以用羅必達反而是先做第二步去證明第
→ ricestone:一步的存在，這跟不同視野沒啥關係
→ sm008150204:我似乎甚麼地方卡住了,能再講詳細點?
→ ricestone:就是上上一篇的那樣子
→ yhliu:定義是基礎. 如果連微分的定義都不清楚, 那
→ yhliu:不是開拓視野, 而是只會套公式.
→ yhliu:明明是一個簡單的導數定義式, 硬要套某個公
→ yhliu:式計算, 我不認為是正確的.
我知道定義是對的，不過我現在想了解的只是
「是否能用羅必達做這個問題？」
※ 編輯: sm008150204     來自: 140.113.62.161       (12/21 01:34)
推 CaptainH:你羅必達的第二步找f'(0)就已經解完了
→ CaptainH:繼續做下去當然會對, 捨近求遠罷了
推 a016258:y大要提醒的是，這既然是微分的定義，就應
→ a016258:採定義的作法。是可以用L'H 做，但如同樓
→ a016258:上說的，變的捨近求遠了。
感謝大家的回覆！！
※ 編輯: sm008150204     來自: 140.113.62.161       (12/21 23:13)
推 doom8199:那樣子做有捨近求遠嗎?
→ doom8199:差別不就只是分別用了 FTC 和 L'H.'s r.
→ doom8199:這兩套工具嗎
→ doom8199:若用 羅必達法則 在此 case 中是 "錯的"
→ doom8199:那就值得討論為何使用上會是錯的
→ yhliu:就算用 L'H rule 不算錯, 但用它的前提是承
→ yhliu:認 FTC 的適用性. 然而, 由 FTC 及導數定義
→ yhliu:立即得解, 為何要繞個圈子?
推 doom8199:若照 yhliu大的說法， 那以後算 f/g
→ doom8199:對 x→0 的極限，我們只須改寫一下變成
→ doom8199:(f/x) / (g/x) , 我們只需自行推導
→ doom8199:lim (f/x)/(g/x) = lim f'/g' if existed
→ doom8199:那何需 L'H.'s rule ?
→ ricestone:你寫的不就是簡易版的羅必達證明？
→ doom8199:對阿XD  對我而言，這有點像是雙項邏輯
→ doom8199:出發點的不同，會有不同的認知
→ ricestone:那要看你是不是覺得羅必達可以比微分定
→ ricestone:義更適合當在這題的出發點吧
→ ricestone:其實我有的時候也會覺得羅必達當作出發
→ ricestone:也不會覺得不好用，就像廣義均質定理那
→ ricestone:樣，讓比較低維度的狀態看起來像是特例
→ CaptainH:doom你的例子舉得不太好
→ CaptainH:yhliu意思不是"不需L.H", 而是你做第一步
→ CaptainH:找f'(0)時就把題目解完了, 何必硬要往下
→ CaptainH:做?