Re: [積分] 極限

[CaptainH (Cannon)]

※ 引述《doom8199 (～口卡口卡　修～)》之銘言：

恕刪

: ※ 引述《PaulErdos (My brain is open)》之銘言：
:     但是兩者做法還是得先費一番苦工找出  f'(x)    (但原題不需要費苦工)
:     我實在無法體會推文大大所說的 "硬做" 是有多 "硬" ?
:     而且我覺得這只是兩個不同的 concept
:     所謂的 "方法多餘" , 對我而言的 flow diagram 會是如下: (舉例)
:                       ┌─────┐        ┌─────┐
:      Input   ───→ │ method A │ ─┬→ │ method B │ ──→ Output B
:                       └─────┘   │   └─────┘
:                                        │
:                                        │
:                                        └───────────→ Output A
:     若存在一個 Input , 會有  Output A = Output B
:     那顯然的, method B 其實可以不需要去做它 for that Input
:     但是若真的把原問題的兩種解法
:     細分並畫出先後關係
:      L'Hopital's rule  應該不會扮演 method 2 的角色
:     何來多餘之說?

題目是
               1    x     2
        lim  -----∫ cos t dt
        x→0   x    0

                      x
這很明顯就是求 f(x)=∫ cos(t^2)dt 在 x=0 的導數，
                      0
所以可以直接算出答案=1。

你說，
不好意思，雖然那個極限就是導數的定義不過我看不出來，
我要用羅必達做可以嗎？

當然可以，但要用 L'Hopital's rule 計算 lim f(x)/g(x) 是有前提的：
                                       x->a


          i) f(x)、g(x) 同時趨近 0 或 ∞

         ii) f(x)、g(x) 在 x=a 可微分(導數存在)

        iii) lim f'(x)/g'(x) 存在
             x->a

        才會有 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) 的關係。
               x->a            x->a

           x
現在 f(x)=∫ cos(t^2)dt 及 g(x)=x，要用羅必達算 lim f(x)/g(x)
           0                                    x->0

         i) lim f(x) = 0 且 lim g(x) = 0   ∴滿足
            x->0            x->0

        ii) g(x) 處處可微，但 f(x) 可微嗎?

            照定義, 求 lim  [f(h)-f(0)] / h
                       h->0
                              h
                     = lim  [∫ cos(t^2)dt ] / h
                       h->0   0

            咦, 這不就是題目本身嗎?

             由 FTC  =  cos(x^2) |
                                 |x=0
                     = 1

            寫完收工，iii) 完全沒必要做下去

繼續做可以嗎？ 可以
答案會一樣嗎？ 會

只不過答案早就求出了，繼續做下去也沒什麼意思。

:     有人說這樣算是在繞遠路

精確來說並非繞遠路，是你早就經過目的地，但沒發現。

就像想從台北搭火車到台中，雖然不太知道怎麼搭，
但記得之前常常從台南搭到台中，購票簡單路程又短，於是你就打算先搭到台南再轉車。
不料，火車經過台中時你竟然沒看出來，沒下車，
開開心心坐過頭，然後再從台南坐回台中，如此而已。


:     或許在其思考中，中間有一段是出現以下的思考程序:
:        f'(x) ──┬─→  A   ──┬─→  f'(0)
:                  │              │
:                  └─→  B   ──┘
:       A 是直接帶 x=0 過去， B 則是利用連續性過去  (舉例)
:     這樣的平行思考路線，若覺得 B 的方法太繞路了
:     自己要把 B 的思考鍊砍掉當然ok阿，因為那是自己本身的考量所致
:     但有人就是會覺得走 B 路線，對他自己本身而言比較方便
:     甚至有人想把 A路線砍掉
:     只要別犯了循環論證之類的錯誤 也無不可
:     例如 某某人會覺得不論 input 是啥，只要可以 work
:          我只要走路線 B 就好
:          何需每次計算的時候，還要先花時間判斷 路線A 的前置條件是否成立

就這題而言，路線B能通的前提就是路線A....因此底下有點引喻失當

:          這就好比像是
:          若今天有一個軟體可以解   lim (f/g)
:          假設有一個大型程式需要解上述問題  100萬次好了
:          有人會把程式寫成   if( (f(0)==0) & (g=x)  )   then 微分定義
:                             else                       羅必達
:          某某人就是會覺得每次都要先判斷, 導致多出了一百萬次判斷的時間
:          說不定這一百萬筆問題，有 99.xx萬筆問題得須藉助羅必達來解決
:          那幹嘛這一百萬筆資料不全用 羅必達 來算來比較省時間?

充其量省開發時間而已，執行時的時間複雜度分析起來未必。



最後還是要提一下，這是比較"數學"的看法，
這裡畢竟為了轉學考試，以做得快做得正確為第一，
現在題目也很少要你去檢查是否符合羅必達的前提。

:          (當然若 微分定義 的算法比 L'H. 算法還 "快" 多了, 那得須另外討論 )
:          對硬體而言
:          上述作法還要多浪費一個  多工器 + equivalence checking + ... 的成本
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:     講到最後，我自己也不知道結論是啥....

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◆ From: 122.124.100.125
※ 編輯: CaptainH        來自: 122.124.100.125      (12/23 00:59)
※ 編輯: CaptainH        來自: 122.124.100.125      (12/23 01:00)
推 znmkhxrw:這就像lim_{x→a}(f(x)-f(a))/x-a
→ znmkhxrw:by L', 變成lim_{x→a}f'(x)/1
→ znmkhxrw:還不一定對，說不定不是C^1就不存在
→ yhliu:你對 L'Hopital's rule 的敘述有點問題.
→ yhliu:若 f'(a), g'(a) 存在, 則在 g(x)=x 時, 完
→ yhliu:若 f'(a), g'(a) 存在, 則在 g(x)=x-a 時,
→ yhliu:完全用不到 L'Hopital's rule.
→ yhliu:能引起爭論的是不考慮 f'(a), g'(a), 而是
→ yhliu:在 a 的鄰域,除 a 點以外, 考慮 f'(x)/g'(x)