L'Hopital's rule

[yhliu (老怪物)]

[1] f(a)=g(a)=0, f, g 在 x=a 可微, 且 g'(a)≠0,
    則 lim f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)
      x→a

    其證明很簡單, 就是導數定義+極限的除法律:
                      lim f(x)/(x-a)
     lim f(x)/g(x) = ---------------- = f'(a)/g'(a)
    x→a              lim g(x)/(x-a)


    因此, 當 g(x)=x-a 時, 難道還要把 f(x)/(x-a) 寫
    成 [f(x)/(x-a)]/[(x-a)/(x-a)]? 即使如此,也避免
    不了 lim f(x)/(x-a) = f'(a) 這個定義的事實.
        x→a



[2] 若
    1)  lim f(x) = 0 = lim g(x) 或 lim g(x) = ±∞
        x→a          x→a        x→a
    2)  f, g 都在 a 的某個鄰域, 除 a 點本身以外,
        可微分.
    3) lim f'(x)/g'(x) 存在, 或等於 ±∞
       x→a
    則 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
      x→a            x→a


    這個定理的證明實際上要分 0/0 與 */∞ 兩種情形,
    其證明要大概找高等微積分教本才有.

    若 g(x)=x-a, f(a)=0 或 lim f(x) = 0,
                           x→a
    那麼 lim f(x)/(x-a) 應該用 L'Hopital's rule 嗎?
         x→a
    甚至, 補上 f(a)=0 的定義, 而說 lim f(x)/(x-a)
                                   x→a
    是 f'(a) 的定義,不比套用 L'Hopital's rule 更恰
    當嗎? 在此情形, 若 f'(a) 不存在, 所求極限存在?


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