Re: [多變] 多變函數極值問題

[alasa15 (alasa)]

※ 引述《kai218 (卑鄙會會長)》之銘言：
:       2
: 請問 d f(x,y)=?
:              2                                     2
: 有些書寫   δ f          2     δf               δ f          2
:         = ───(x,y)(dx) +2 ────(x,y)dxdy+ ───(x,y)(dy)
:               2               δxδy                2
:            δx                                   δy
:              2                                     2
: 有些書寫   δ f          2     δf               δ f          2
:         = ───(x,y)(dx) +2 ────(x,y)dxdy+ ───(x,y)(dy)
:               2               δxδy                2
:            δx                                   δy
:             δf        2     δf        2
:          + ───(x,y)d x + ───(x,y)d y
:             δx              δy
:            2            2
: 請問是因為d x=d(dx)=0且d y=d(dy)=0 所以以上兩種寫法皆相同?
: 請問判斷極值時,假設(0,0)為critical point
: 則case 1: 2            2      2
:          d f(0,0)=4(dx) +3(dy) >0 , 那麼(0,0)為局部極小值
:   case 2: 2            2
:          d f(0,0)=4(dx) =0 , 無法判斷
:   case 3: 2
:          d f(0,0)=4(dx)(dx-2dy) 為正負號不定 , 那麼(0,0)為saddle point
: 請問為什麼case 1是大於0 , 但是case 2卻是等於0 ?
: 請問case 3是因為dx跟dy可能是正or負,所以正負不定?
: 麻煩版友幫忙解惑,感謝


這需要一些線性代數的知識

考慮f(x,y)在critical point(a,b)的泰勒展開式(設f二階導函數連續,fxy才等於fyx)

                                           1
f(a+h,b+k) = f(a,b) + f(a,b)h + f(a,b)k + ---f(a,b)h^2 + f(a,b)hk +
                       x         y         2! xx          xy

   1
+ ---f(a,b)k^2 +.....  捨去高次項
   2! yy


                     1       [ fxx fxy ][h]
f(a+h,b+k)-f(a,b) = --- [h k][         ][ ]  (在critical pt 所以一階偏導都是零)
                     2       [ fxy fyy ][k]


如果 fxx>0 & determinant(D) fxxfyy - (fxy)^2 > 0 , 則恆正(無論h,k取值如何)

如果 fxx<0 & D > 0 , 則恆負

     D<0時不定 , 所以(a,b)是鞍點

     D=0, 無法判斷(這個時候要考慮被捨棄掉的高次項了)




大概是這樣吧   其實我講得不太清楚  真想弄懂建議你直接翻一下線代

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◆ From: 111.249.11.55
推 ntust661:推這篇!
推 jacky7987:應該是D>0 f_xx的正負決定正定或負定
→ jacky7987:D<0 才是不定(有一個正的和負的eigenval
→ jacky7987:正定的時候附近都是遞增 所以是min,反之
→ jacky7987:則是max
感謝指正
※ 編輯: alasa15         來自: 114.24.172.145       (01/19 13:11)
推 kai218:感謝您的回答