→ BaBi:至於雙曲函數, 去翻書吧! 定義而已.220.140.127.167 01/31 00:52
※ 引述《Wolfry07 (浪跡)》之銘言：
: 極限的問題是我不懂題目要做甚麼
: (去補習班求救過了,輔導老師也沒輒)
: 微分的那題則是看不懂講義上的詳解
: -----------------------------------------
: { 1/x
: 1.Let H(x)=| e ,x<0
: | m ,x=0
: { asin(x)+bcos(X)+cx ,x>0
: Find conditions of m,a,b,c, such that, respectively
: (1) H(x) is continuous everywhere
: (2) H(x) is differentiable everywhere
: (3) H(x) has an inflection point at x=0
: 講義上的答案如下
: (1) b=m=0
: (2) b=m=0, a+c=0
: (3) b=m=0, a≧0
題目給出一個分段函數，分別要你求出滿足下列條件的m.a.b.c值。
(1) H(x)在定義域內處處連續
連續在單變數函數中定義如下:
1. x 趨近於一數 k 時，極限值 lim f(x) 存在。
2. f(k) 存在。 x->k
3. 函數值 f(k) = 極限值 lim f(x)
x->k
由上述得知
lim e^(1/x) = lim[asin(x)+bcos(x)+cx] = m
x->0- x->0+
又 lim e^(1/x) = 0
x->0-
得 m = 0 且 lim[asin(x)+bcos(x)+cx] = 0 + b + 0 = 0
x->0+
故 m = b = 0 始符合題目要求。
(2) H(x)處處可微
可微分之定義如下：
1. 原函數連續且平滑。
2. 即導函數存在且相等。
（導函數為原函數之一種極限，極限存在需具有唯一性。）
直接將上分段函數微分，得：
(-1)(1/x^2)e^(1/x) , x > 0
h(x) = 0 , x = 0
acos(x) - bsin(x) + c , x < 0
利用極限存在之唯一性，
lim (-1)(1/x^2)e^(1/x) = lim [acos(x)-bsin(x)+c] = 0
x->0- x->0+
即 a - 0 + c = 0 , a + c = 0
（此處注意原函數需連續，才可微分，故m = b = 0承上題。）
(3)於 x=0 處，有反曲點存在
反曲點定義如下：
一函數其在 x = k 處，其二階微分為 0 ，但三階微分不為 0
稱 ( k, f(k) ) 為其反曲點。
幾何意義為：在該點左右兩側，曲線凹性不同
（即：f''(k+)*f''(k-)<0）
發現 x->0-,H''(x)=[(2x+1)e^(1/x)]/x^4 > 0
所以 x->0+,H''(x)=-asin(x) < 0
故a > 0 (此答案應沒有等於,僅大於而已)
（又如題２，須滿足連續條件，故m = b = 0承上題）
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