Re: [考古] 元智 100 資管

[BaBi (卑鄙)]

※ 引述《isong199 (雨中回憶)》之銘言：
: Expand F(X)=2X^3+X^2-3X-5 in powers of X+1.
: 請問一下這題如何解?

其實這種題目很仁慈，屬於最基礎的多項式的泰勒展開。
實際上偏於高中數學，以下提供兩種方法解之。

一、多項式的變形。

　　F(x) = 2x^3+x^2-3x-5

         = a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d


　　可以利用最基礎的，除法。

　　2x^3+x^2-3x-5 = (x+1)(2x^2-x-2)-3

                  = (x+1)[(x+1)(2x-3)+1]-3

                  = (x+1){(x+1)[2(x+1)-5]-3}-3

                  = 2(x+1)^3-5(x+1)^2+1(x+1)-3


   或是使用綜合除法。

   令 x+1 = 0

      x = -1

                               得 a = 2
      +2  +1  -3  -5 |
          -2  +1  +2 |-1          b = -5
     ————————
　　  +2　-1  -2 |-3              c = 1
          -2  +3 |
     ——————                 d = -3
      +2  -3 |+1
          -2 |                 故原式F(x) = 2(x+1)^3-5(x+1)^2+(x+1)-3
     ————
      +2 |-5



二、泰勒展開式定義

　　f(x) = 2x^3+x^2-3x-5

    f'(x) = 6x^2+2x-3

    f''(x) = 12x +2

    f'''(x) = 12


   所以 F(x) = f(-1) + [f'(-1)/1!](x+1) + [f''(-1)/2!](x+1)^2
                     + [f'''(-1)/3!](x+1)^3

             = -3 + (x+1) - 5(x+1)^2 + 2(x+1)^3


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推 isong199:謝謝!