推 GeeDuTu:這題真難 114.45.19.250 03/10 21:26
推 lovehan:看起來頗像一題經典題... 211.74.193.204 03/10 22:37
※ 引述《yoyooyooo (yoyoyoo)》之銘言：
: http://miupix.cc/pm-AVO7VR
: 如圖
: 最近被判斷斂散性搞的頭快昏了
: 這題我用ratio test做不出來..
ratio test:
n＋1
[㏑(n＋1)]
─────
(n＋1)! ㏑(n＋1) n
lim ────── ＝ lim ───── [log (n＋1)] ＝ 0 ＜ 1 , 收斂
n→∞ [㏑(n)]^n n→∞ n＋1 n
───── ^^^^^^^^^^^^^
n! ／
↙
n 1 n
lim [log (n＋1)] ≦ lim (1＋─) ＝ e
n→∞ n n→∞ n
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
／
↙
1 n 1 1/n 1 1/n 1＋1/n
(1＋─) ＜ n ＝> 1＋─ ＜ n ＝> n＋1＝n(1＋─) ＜ n*n ＝ n
n n n
1
＝> log (n＋1) ＜ 1＋─
n n
or
1 1
因 1＋─ ↗ e , n ㏑(1＋─) ＜ 1
n n
n ( ㏑(n＋1)－㏑n ) ＜ 1 ＜ ㏑n
n㏑(n＋1)＜(n＋1)㏑n
n＋1 1
＝> log (n＋1) ＜ ─── ＝ 1＋─
n n n
root test:
㏑n ㏑n ㏑n (1＋...＋1/n)
lim ───── ≦ lim ─────── ＝ lim ──────────
n→∞ (n!)^(1/n) n→∞ n n→∞ n
──────
1＋...＋1/n
幾何平均大於調和平均
㏑n (㏑n＋1)
≦ lim ─────── ＝ 0 ＜1
n→∞ n
n 1
Σ ≒ ㏑n＋γ＋ε ≒ ㏑n ＋ 0.577... ＋ ── ＜ ㏑n ＋ 1
k=1 n 2n
或是在 1/x 的積分 1到n的範圍下面接方格
便可得到 1/2＋...＋1/n ＜ ㏑n
comparison test:
懶得打 n n
(㏑n) (㏑n)
lim ───── ＝ lim ─── ≦ lim ─────────
n→∞ 1 n→∞ (n-2)! n→∞ n-2 n-2
──── (────── )
n(n-2) 1+...+1/(n-2)
2 ㏑n(㏑(n-2)＋1) n-2
≦ lim (㏑n) (───────── )
n→∞ n－2
2 2
(㏑n) [㏑n(㏑(n-2)＋1)] ㏑n(㏑(n-2)＋1) n-4
＝ lim ─── ───────── [───────── ] ＝ 0 ＜ 1
n→∞ n-2 n-2 n-4
1
Σ ─── 收斂故原級數收斂
n(n-1)
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※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.4.183 (03/09 18:40)
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