※ 引述《suhorng ( )》之銘言：
: 2.
: x^3 - xy^2 r^3 cosθcos(2θ)
: By writing ----------- in polar form we get -------------------
: x^2 + y^2 r^2
: which is r cosθcos(2θ) when (x,y)≠(0,0) and its absolute value is
: less than r. So the limit is
: -1 π
: cos 0 = ---
: 2
"用極座標來解多變數函數是萬能的用法"
這是個很常見的誤解
很多數學系同學甚至補習班老師都這樣認為
有沒有數學系教授也這樣認為我就不清楚了
用極座標代 與 用y＝mx 根本就是一樣的
我們來看這個例子
2
x y
lim ─────
(x,y)→(0,0) 4 2
x ＋ y
用y＝mx , 極限為0
2
用y＝kx , 極限則隨著k的不同而不同
接著, 極座標來了
3 2 2
r cosθsinθ r cosθsinθ
lim ───────── ＝ lim ──────── ＝ 0
r→0 4 4 2 2 r→0 2 4 2
r cosθ＋r sinθ r cosθ＋ sinθ
為什麼會這樣呢?
原因就在於, 我們只取 r→0 , 而 θ 則是固定住的
那麼我們趨近原點的路徑豈不就是沿著某個斜率的直線去跑嗎
所以它就跟y＝mx本質上是一樣了
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