※ 引述《harry007 (harry)》之銘言：
: 95台聯大
: (x^2)*sin(1/x)
: lim ---------------
: x->0 tan(x)
: 我用羅必達弄不出來耶
: 這題不能用羅必達嗎?
: 還是我羅錯了?
這一題直接用 l'Hospital's rule 是不行的, 因
x^2 sin(1/x) 2x sin(1/x) - cos(1/x)
-------------- ～ ------------------------
tan(x) sec^2(x)
注意右式的極限不存在, 因 cos(1/x) 的極限不存在.
很多學生只注意到 l'Hospital's rule 用於 0/0, ∞/∞
所謂 "不定式", 卻沒注意 l'Hospital's rule 的條件是
(1) f(x)/g(x) 當 x→a(+/-) 時是 0/0 或 ∞/∞ 形.
(2) f(x), g(x) 均在 a 附近, 除 a 點以外, 可微分.
(3) f'(x)/g'(x) 當 x→a(+/-) 時極限存在, 或以+∞
或-∞為極限.
本題 f'(x)/g'(x) 極限不存在, 也不是 +∞ 或 -∞, 這
表示 l'Hospital's rule 不適用,或原極限式需經某種變
化處理後才可能用.
然而, 本題一看就知道答案是 0 以及該如何作.
因為, sin(1/x) 是有界函數. 由夾擠定理很容易得:
[系理] 若 lim f(x) = 0 而 g(x) 有界,
則 lim f(x)g(x)=0.
而 x^2/tan(x) 可以用基本極限定理或用 l'Hospital's
rule 得其極限為 0. 因此原題立解.
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