Re: [積分] Integrate ln(a + bcosx)

[suhorng ( )]

用網頁中的提示做下去(但他有打錯)

When a > b ≧0

   π
  ∫ln(a+bcos(x))dx
   0

   πb    cos(x)
= ∫∫-------------- dy dx + πln(a)
   0 0 a + y cos(x)

   b π 1             a
= ∫∫ ---(1 - --------------) dx dy + πln(a)
   0 0  y       a + y cos(x)

     b  1            a
= π∫(--- - ----------------) dy + πln(a)
     0  y     y√(a^2 - y^2)

             _________
= πln(a + √a^2 - b^2) - πln(2a) + πln(a)
             _________
       a + √a^2 - b^2
= πln-----------------
              2

當 a = b > 0 時, 是瑕積分, 且收斂

 π                     π
∫ln(a + a cos(x))dx = ∫ln(1 + cos(x))dx + πln(a)
 0                      0

                        π
                     = ∫(ln(2) + 2ln(cos(x/2)))dx + πln(a)
                        0

                     = πln(2) + 4*(-π/2 ln(2)) + πln(a)

                     = πln(a/2), 與 a > b 的情形同

※ 引述《WeiFanL (WeiFan)》之銘言：
: from 0 to pi
: http://mathhelpforum.com/calculus/42157-integrate-ln-b-cosx.html
: 如網址：
: 基本上是用虛擬代數積分法
: 阿陸仔則是參數代換積分
: 我算出來都沒有在In裡面除2
: 有人知道證明嗎?
: 補：
: 王博第六章 精選第10題的5小題

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.217.34.135
推 WeiFanL:太棒了
推 WeiFanL:我是先設原積分為F(y) 對y微分並求F'解
→ WeiFanL:在積分F'便得解，起點不同但解題技巧一模
→ WeiFanL:一樣
→ BaBi:我的做法和樓上一樣@@"
→ suhorng:我也覺得是一樣的做法 只不過求常數在我這
→ suhorng:邊變成了內層積分的下界XD
※ 編輯: suhorng         來自: 61.217.34.135        (05/20 19:24)