推 piperyim:非常感謝您!! 118.165.153.39 05/23 21:44
※ 引述《piperyim (Dreams come true)》之銘言：
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/undergra/93/93027.pdf
: 想請問第八題要如何求解?
: 是單變數球極值嗎?謝謝
題目:
光源照在一物上的照明度與光源強度成正比，和光源距離平方成反比，
今有兩光源 A 和 B 相距 10 公尺， A 的強度為 B 的三倍。
今欲放至一物體 C 於其間，試問需放置距 B 多遠處，
始有最弱照明度。
想法：
求解極值，先判別為單變數還是多變數，且有無限制條件。
單變數則採極值理論（一階或二階導數判定）
多變數且無限制條件亦採極值理論（偏導數判別式）
多變數且有限制條件則採拉格朗日乘子法
＜解＞
由題目知照明度 P = k * ( Q / r^2 )
10-x x
A -------- C ------- B 又 A B C 間距離關係如左
(3Q) (Q)
距上述條件得光源 A 在 C 產生之照明度 Pa = 3kQ / (10-x)^2
光源 B 在 C 產生之照明度 Pb = kQ / x^2
故 C 點處之照明度 P = Pa + Pb
= [3kQ / (10-x)^2] + [kQ / x^2]
吾人欲求其極小值，令 f(x) = [3 / (10-x)^2] + [1 / x^2]
則 f'(x) = [6(10-x)^(-3)] - [2x^(-3)]
令 f'(x) = 0 , 可得臨界點 x = 10 / [1 + 3^(1/3)]
(其實解到這...可以說是寫完了, 保險的話還可以再去二階檢驗是否真的是極小值)
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