Re: [單變] 級數跟瑕積分

[suhorng ( )]

※ 引述《sheepyPie (小羊派)》之銘言：
: 1. 84成大
:    1    ln(x)
:    S  --------- dx
:    0   (1-x^2)

當 x→1 的時候 ln(x)/(1 - x^2) → -1/2

當 0 < x < 1/2 的時候 1 - x^2 > 3/4  =>  4/3 ln(x) < ln(x)/(1 - x^2) < 0

     1/2                 1/2
因為 ∫ln(x)dx 收斂, 因此∫ln(x)/(1 - x^2) dx 收斂. 綜合以上, 原積分收斂.
      0                   0

接下來我們要用到

 1 1    1                        1 ln(1 - x)         1 ln(t)
∫∫-------- dy dx = π^2/6 = －∫-----------dx = －∫------- dt
 0 0 1 - xy                      0     x             0 1 - t

對左邊的重積分用 x = u+v, y = u-v 的變數變換可以算出來; 或是展開為Σ1/n^2.

現在

 1  ln(x)        1   1 ln(x)       1 ln(x)
∫---------dx = ---(∫-------dx + ∫-------dx)
 0 1 - x^2       2   0 1 - x       0 1 + x

                                                     |1    1  1 ln(1 + x)
              = π^2/6 ． (-1/2) + lim ln(x)ln(1 + x)|  - ---∫-----------dx
                                  t→0               |t    2  0     x

                                    1   1 ln(1 - x)       1 ln(1 - x^2)
              = π^2/6 ． (-1/2) + ---(∫-----------dx - ∫-------------dx )
                                    2   0     x           0      x

                                          1    1  1 ln(1 - x^2)
              = π^2/6 ． (-1/2 - 1/2) - ---．---∫-------------dx^2
                                          2    2  0     x^2

              = π^2/6 ． (-1/2 + -1/2 + 1/4)

              = -π^2/8
                                                 ln(1+t)
(  lim ln(t)ln(1 + t) = [ lim t*ln(t) ] * [ lim --------- ] = 0 * 1 = 0  )
   t→0                  t→0              t→0     t

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.217.33.159
推 smhead:請問倒數第3個等式是不是多一個1/2
→ smhead:我答案算-pi^2/24 不知道哪裡出錯
推 smhead:沒事 抱歉看錯惹
推 smhead:推一個，相當強悍。
漏打了個括號
其實是先用軟體得知答案才去猜算法...
※ 編輯: suhorng         來自: 61.217.34.17         (05/31 08:31)