Re: [多變] Lagrange

[RAINDD (I'm Kenino.)]

原PO你好，你是初學微積分嗎？
這題其實不難，甚至也不需要用到Lagrange Multiplier就可以解了。
我這麼說吧，個人以為困難的地方在於初學時"正確"而且"完整"建立觀念。

個人分享一些當初學習時的心得與經驗，
不敢講我說得很對，但提出來供你做參考。

※ 引述《blak (緯緯)》之銘言：
: 題目:用lagrange求函數f(x,y)=xy受限於x^2+y^2=8,x>0,y>0的所有極值,解釋算出的極值
: 為最大值或最小值
: 我算出來(2,2),(-2,-2)題目說x>0,y>0所以(2,2)代入題目=4
: 請問要如何判斷4為最大或最小值?

1. 首先，先想想，什麼叫最大值？最小值？極大值？極小值？
   既然叫"大"、叫"小"，就意味著是經過比較得到的結果。
   依我看，你困擾的點在於，經過求解方法得到只有一個極值時，
   我怎麼知道它是最大或最小？
   然而，以這題來看，只有一個極值存在嗎？其實還有，只是你缺視了，

2. 即使，真的只有一個極值發生時，你又如何得知它是最大、最小值呢？
   舉個例： y = x^2 - 2x + 3，我們知道 x = 1 時， y 有最小值 2。
   如何知道的？用配方法呀，一階微分求極值點、二階微分求開口，
   甚至算幾不等式、柯西不等式…等任何可應用的方法，
   都能幫助找maxima,minima,extrema，且看各憑本事。

3. 再說Lagrange Multiplier方法，▽f = λ * ▽g，
   聯立求解時，常常不是那麼地在意特徵乘數值 λ 。
   若你練習的題目做多了，會發現λ值的大小與"+""-"符號，
   似乎能猜知該點是極大值或是極小值。
   而微積分課本也並不討論λ值與extrema的關連性。
   於此，我們並不多做討論，有興趣的話不妨自行研究或多找題目練習。

: 麻煩大家了~謝謝
: --
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: ◆ From: 118.168.129.208
: 推 beansop:它的限制條件是在一個半徑為8^(1/2)的圓      114.46.159.6 06/13 15:45
: → beansop:在第一象限中的區域，所以要討論邊界上       114.46.159.6 06/13 15:45
: → BaBi:討論邊界上和區域內....                       140.135.26.32 06/13 15:46
: → beansop:及圓內的極值發生點，所以你分兩個部份       114.46.159.6 06/13 15:46
: → BaBi:基本上就是求出所有臨界點, 在比較代入後大小   140.135.26.32 06/13 15:47
: → beansop:然後討論出來的值作比較，就OK了             114.46.159.6 06/13 15:48
: → BaBi:ㄜ, 插到b大了QQ                              140.135.26.32 06/13 15:48
: → blak:還是不太懂..不知道可以麻煩寫算式?          118.168.129.208 06/13 15:57
: → blak:請問該怎麼列區域內的算式?                  118.168.129.208 06/13 16:16
: → blak:最大值9,最小值0正確嗎?                     118.168.129.208 06/13 16:56
: → blak:我用Lagrange算答案還是4....                118.168.139.231 06/13 20:45

4. 開始解題：

   依題意，我們先弄清楚目標函數、和限制函數。
   目標函數： f(x,y) = x*y
   限制函數： x^2 + y^2 = 8、 x > 0 、 y > 0
    {依題意，限制函數為在xy平面上，x^2 + y^2 = 8，且 x > 0 , y > 0
     為第一象限的四分之一圓弧曲線。
     注意，題目並非x^2 + y^2 ≦ 8，所以並不包含圓內的區間}

   極值發生的地方：(1)端點 (2)邊界上 {勿忘端點}
   (1)端點：(x,y) = (2√2,0) 及 (0,2√2)
   (2)邊界上：應用Lagrange Multiplier解得 (x,y) = (2,2)有一極值

   代入 (2√2,0)、(0,2√2)、(2,2)求f(x,y)並比較大小，
   得知最大值為 f(2,2) = 2*2 = 4
       最小值為 f(2√2,0) = f(0,2√2) = 0

   於此，作答即完成。
   若你不放心 4 是否為最大值，就將限制函數x^2 + y^2 = 8參數化再
   用單變數函數求極值的方法解看看。
   若你能將題目轉化成解析幾何的意義進一步瞭解此題那又更好。

5. 補充：
   若限制函數為：x^2 + y^2 ≦ 8、x>0、y>0
   極值發生的地方：(1)端點 (2)邊界上 (3)區間內

   (1)端點有三：(x,y) = (2√2,0)、(0,2√2)、(0,0)
   (2)邊界有三：y=0時，0≦x≦2√2、
                x=0時，0≦y≦2√2、
                x^2 + y^2 = 8。
   (3)區間內：解 df/dx = 0
                 df/dy = 0 之聯立方程式。

   詳細的解答內容，就留給你自己發揮囉。

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◆ From: 124.9.196.6
推 blak:請問端點x.y不用>0嗎??
→ RAINDD:x>0之條件，的確不包含(2√2,0)這端點
→ RAINDD:這樣寫吧：於限制條件下，0＜f(x,y)≦4
推 blak:0＜f(x,y)≦4這個式子可以在解釋一下嗎?
→ RAINDD:f(x,y)≦4,等號成立時發生在(x,y)=(2,2)
→ RAINDD:0＜f(x,y)，因(2√2,0)不包含在限制條件內
→ RAINDD:又f(2√2,0)=0為限制條件下之最小值
→ RAINDD:0≦f(x,y)，"="不成立，故拿掉"="
→ blak:真是太感謝你了~我懂了謝謝