Re: [微分] 成大和台聯

[Honor1984 (希望願望成真)]

我快抓狂了
快打完的時候ptt1就當機了
又要重打.....

※ 引述《n791116 (諺)》之銘言：
: 成大98的第10題
: Use polar coordinate to compute
:  1    x
: S    S     1/(x^2+y^2)^1/2 dydx
:  1/2  1-x

因為重打麻煩的緣故
我就簡短敘述
積分範圍是(1,0),(1/2,1/2),(1,1)圍成的等腰直角三角形
因為剛好擺的角度是那樣
r跟θ是綁在一起的
所以積分是
π/4  sec(θ)
∫    ∫      (1/r)    rdrdθ
 0    sec(π/4-θ)/√2

剩下對你應該不是問題才對
: 小弟不太懂怎麼換成極座標@@ 尤其是R的部分
: 成大96年
: http://ppt.cc/i~l- 第二題 想問答案是不是 ln|x-3|/(x-4)

對

: 台聯98 http://ppt.cc/aO-m
:  第10題.
:   解答寫圓柱座標之微表面積dA=rd(theta)dz 座標原點 (0,3),0<=theta<=2pi
:                      |  dr     dr    |
:   若原點定在(0,0) dS=| ---- x ----   | d(theta)dz,0<=theta<=pi
:                      |  dtheta dz    |
:    小弟的問題是座標原點的變換與theta範圍的改變有什麼關係@@

圓柱座標或極座標
在原點觸的定義都會有問題
就像一個點怎麼定義角度?
不是一對一對應的關係
所以有的時候是直接強迫定義
好在只有這個點有問題
遇到積分是不用擔心的

處理面積元要特別小心
跟線元和體積元有一定寫法不同
大部分的時候依賴於你所有處理的區域的幾何

我剛才又再仔細揣摩你的問題
你好像不是問我上面提到的問題
但是又不是很清楚
所以我把幾種你可能會問的問題一一做回答

(0,3)只是這種參數化的截圓中心點
有點類似將圓柱的對稱軸平移(0,3,0)向量(但其實幾何圖形本來就放在哪裡 沒有移動)
但這是因為考慮的問題本身具有這種幾何性質
你知道題目其實就是(3sin(2θ),-3cos(2θ),z) + (0,3,0)
它是以ijk正交系統描述
在這個框架下
原點就只有一個0i+0j+0k
我不知道你想問的確切問題到底是什麼？因為問題很模糊
但是平移本身並不會影響面積元
你從行列式算法就知道了

至於為何題目的θ範圍只涵蓋了π而非2π
那是因為cos sin的θ參數是2θ
如果還是使用一般的0~2π
此面上的每一點就會被重複數上一次
所以θ的範圍才需要縮小到平常的一半

如果你是問多出來的2倍是從哪裡來(相對於一般圓柱做標rdrdθ)
那是因為計算面積元的時候
並沒有處理到θ實際的範圍
所以2θ微分的結果多出了2
或者也可以如上一段所說
就空間上來說一半範圍的θ可以對應到原本涵蓋2π的空間
所以多出了2的因子(或者重複計算空間的任一點)

簡言之
θ範圍少了一半
面積元多了一倍
倒也蠻合理的

: 填充第3題: 我想請問極座標的範圍如何計算   拜託大家了QQ


這一題如果我沒誤解意思
是要我們先算dz -> dr -> dθ?
還是dθ -> dr -> dz?
我是有點懷疑能夠用一道積分就可以完全表達出來

xy平面當底面
拋物面柱當蓋子
蓋到圓柱上

我列出幾種可以一次寫出來的式子

I

   2     √(2-z)  arccos(r/2)
= ∫     ∫      ∫             sin(z^2)r dθdrdz
   0      0       -arccos(r/2)


    √2  arccos(r/2)      2-r^2
= ∫     ∫              ∫     sin(z^2)r dz dθdr
    0    -arccos(r/2)       0

接下來的可能是題目要求的
   π/4     √2   2-r^2   π/2  2cosθ  2-r^2     -π/4   2cosθ  2-r^2
= ∫       ∫     ∫  +  ∫     ∫      ∫     +  ∫     ∫      ∫
  -π/4      0     0      π/4   0       0        -π/2   0       0

integrand是 sin(z^2)r
積分元是dzdrdθ

化減後
     π/4     √2   2-r^2   π/2  2cosθ  2-r^2
= 2[ ∫       ∫     ∫  +  ∫     ∫      ∫    ] sin(z^2)r dzdrdθ
      0        0     0      π/4   0       0

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.220.147.108
→ PaulErdos:不能寫入暫存檔嗎 ?
→ PaulErdos:發現我居然是同分鐘推耶
→ Honor1984:想到的時候已經來不及了 如果系統有自動
→ Honor1984:備份就好了
→ Honor1984:因為你直接END...
→ Honor1984:你要不要幫忙看一下 最後一題能寫成一個
→ Honor1984:積分式嗎?
→ Honor1984:系統有自動備份功能 只有在PTT非當機時
→ Honor1984:最後一題應該稱作"拋物柱體"?
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.212.176      (07/03 06:57)
→ n791116:謝謝你!!不過最後一題的圍起來那部份還是
→ n791116:不太懂
推 n791116:請問是要求圓柱以內還是以外的面積呢@@
→ n791116:直接照答案畫XY平面兩個圓 有點像r=2cosθ
→ n791116:的半圓+0~π/4的R=2COS邊界和R=√2邊界圍
→ n791116:的一小塊面積@@不知道是否正確
→ Honor1984:嗯 就是以兩個圓的交點為邊界分為兩個積
→ Honor1984:分 拆成半圓是因為對稱 可少寫一個積分
推 n791116:嗨~~~~我懂了!!!!謝謝XD
→ Honor1984:不客氣