※ 引述《craig100 (不要問,很‧恐‧怖)》之銘言：
: an=1 + 1/2 + 1/3 +.... + 1/n -ln(n)
: (1)試說明lim an 存在
: n->∞
考慮 1/x 的遞減性
得到 1/2 + 1/3 + ... +1/n < ln n < 1 + 1/2 + ... + 1/(n-1)
=> a_n - 1 < 0 < a_n - 1/n
put b_n = a_n -1
b_{n+1} - b_n = 1/(n+1) - ln(n+1) + ln(n) < 0
=> b_n 遞減
由 a_n > 1/n => b_n 有下界 => b_n 極限存在 => a_n 極限存在
: (2) 利用以上結果 求出
: ∞
: Σ [(-1)^(n+1)]/n
: n=1
: 我的想法:
: 第一題求極限我球不出來 很悶
: 後來想利用|R是complete 用遞增有上介 必收斂 但我找不到上介
: 第二題是ln2的樣子 但我無法利用第一小題來說明
: 麻煩指點迷津 感恩
另 L(n) = 上面 summation 的 partial sum (到n 項)
令 r 為 (1) 的極限 => H(n) = ln n + r + o(n) as n->\infty
H(n) := 1 + 1/2 + ... + 1/n
=> H(2n) - L(2n) = H(n)
另一方面 H(2n) - L(2n) = H(n) = ln(n)+ r + o(n)
=> L(2n) = H(2n) - ln(n) -r + o(n)
= ln(2n) - ln(n) + o(n)
= ln(2) + o(n) as n\to\infty
所以極限為 ln 2
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