※ 引述《craig100 (不要問,很‧恐‧怖)》之銘言：
: an=1 + 1/2 + 1/3 +.... + 1/n -ln(n)
: (1)試說明lim an 存在
: n->∞
: 我的想法:
: 第一題求極限我球不出來 很悶
: 後來想利用|R是complete 用遞增有上介 必收斂 但我找不到上介
{a_n}是遞減數列....
a_(n+1) - a_n = 1/(n+1) - ln(n+1) + ln(n) < 0 -> 知道為什麼嗎?
如果只是要找下界也可以用這種方式找(只是有趣而已)
a_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n)
= [2 - 1] + [3/2 - 1] + ... + [(n+1)/n - 1] - ln(n)
= [2 - ln2] + [3/2 - ln(3/2)] + ... + [(n+1)/n - ln[(n+1)/(n)]]
+ ln[(n+1)/n] - n
考慮f(x) = x - lnx
f(1) = 1, f'(x) = 1 - 1/x > 0 當x ≧ 1
所以f(x)在 x ≧ 1是遞增的
因此
a_n ≧ n + ln[1 + 1/n] - n = ln[1 + 1/n] 有下界
=> {a_n}遞減有下界 => a_n收斂到某個值
這個值就是傳說中有名的Euler–Mascheroni constant
簡稱歐拉常數γ
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