推 ivylan:非常謝謝你!!! 111.251.91.120 07/07 23:47
※ 引述《ivylan (藍藍)》之銘言：
: A. 3. d/dx(sin^2((5+x^4)^1/3))= ?
連鎖率
2sin((5+x^4)^1/3)) * cos((5+x^4)^1/3)) * (1/3)(5+x^4)^(-2/3) * 4x^3
: B. 3. evaluate the line integral ∫(ydx-xdy)/(x^2+y^2) ,where C : line segment
: C
: from(1,1) to (2*3^1/2,2)
: 這題線積分我們老師沒有教過....
解法1
對任意路徑C
-> ->
積分 = ∫-re_θ‧dr/r^2
= ∫(-1/r) rdθ
= - ∫dθ = - Δθ
所以只要求出 -(末點角度) + (出點角度)即可!
計算(1,1)的角度是π/4
(2√3,2)的角度是π/6
所以結果是 - (π/6 - π/4) = π/12
這個以前我似乎也有在板上回答過
一般微積分課本幾乎一定會有的例題
是把積分路徑C改成半徑r固定的圓
x = rcost
y = rsint
(ydx-xdy)/(x^2+y^2) = r^2[-(sint)^2 - (cost)^2]dt / r^2 = -dt 和距離無關
注意這題是順時針 因為有負號
所以∫-dt = -Δt = -角度差
極座標中t = arctan(y/x)
在原點會有定義上的問題
但是原點外就無這個困擾
是保守的
意思就是只是起點終點有關
只和角度差有關
由於只和角度有關
計算(1,1)的角度是π/4
(2√3,2)的角度是π/6
所以結果是 - (π/6 - π/4) = π/12
解法2
因為是積直線
所以可以設x = 1 + (2√3 - 1)t
y = 1 + 1t
代入積分式
1
∫{(1+t)(2√3 - 1)dt - [1 + (2√3 - 1)t]dt} / {[1 + (2√3 - 1)t]^2+(1+t)^2}
0
1
= ∫(√3 - 1)dt / [1 + 2√3t + (7-2√3)t^2]
0
1
= (√3 - 1)∫ dt/[1 + (3+√3)u + u^2]
0
= [(√3 - 1)/(7-2√3)]∫ dt / {[t + √3/(7-2√3)]^2 + [1 - (√3/(7-2√3))^2]}
令 k = [t + √3/(7-2√3)] / √[1 - (√3/(7-2√3))^2]
= [(√3 - 1)/{(7-2√3)√[1 - (√3/(7-2√3))^2]}] ∫ dk/[1+k^2]
k_f
= [(√3 - 1)/{(7-2√3)√[1 - (√3/(7-2√3))^2]}]arctan(k)| 一樣是arctan的形式
k_i
k_f k_i 是k的上下限值
有點複雜
雖然長得不太相同
多了一個很醜的係數
但是最後答案會相等
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