※ 引述《Edward56 (白面書生段譽)》之銘言：
: 想請問以下一題[連續]的題目
: 若h(x) =/-------
: \/ 4-x^2
: 請證明h(x)在封閉區間[-2,2]內為連續的
: 解答說
: 本題須採用下列定義
: ---------------------------------------
: 一個定義於封閉區間[a,b]內的函數
: 在[a,b]內是連續的
: 若且為若此函數在開放區間(a,b)內是連續的
: 且在a的右側,b的左側具有連續性。
: ---------------------------------------
: question1.
: 我知道連續的三個條件
: 之前遇到的問題都是
: "請問這個函數在某一點是否連續"
: 這樣我就可以寫出那三個條件
: 成立了我就可以寫"因此得證"
: 但是當要求的連續是一個範圍的時候
: 該怎麼寫?
通常初微裡的這類題目, 當要證明在一區間為連續時,
大多數是已知函數, 然後可能在一些點上出現不連續的狀況,
只需要驗證在這些可能不連續的點上, 函數是連續的就行了.
: 解答直接說h(x)在(-2,2)內是連續的
: 然後他再證明-2,2是否連續
不知道你是看補習班出版品還是原文書,
應該會有提到,
多項式函數（polynomials）
、有理函數（rational functions）
、根式函數（root functions）
、三角函數（trigonometric functions）
在他們的定義域裡頭都是連續的。
所以下面證明分成兩個部分，
1. 在區間(-2,2)，由合成函數概念知具連續性
2. 在邊界[-2,2]，由單邊連續概念知具連續性
至於合成函數的連續性用的Theorem…
他的證明又是另一個故事了。
: (這裡我會,就是證明這兩個點連續)
: 還有有人能夠提供英文版的證明嗎?
The function h(x) = (4-x^2)^(1/2) is continuous on [-2,2]
because it is continuous at each point of (-2,2),
continuous from the right at -2, and continuous from the
left at 2.
(1)
Too see this, note that h(x) = f。g, where
f(x) = x^(1/2), and g(x) = 4-x^2.
Now take any c in (-2,2), Since g is a rational function
and g is defined at c, g is continuous at c. Alos, since
g(c) is positive and f is continuous at each positive
number, f is continuous at g(c).
By the theorem below, h(x) is continous at c.
※Theorem
If g is continuous at c and f is continuous at g(c),
then the composition f。g is continuous at c.
(2)
lim h(x) = h(-2) = 0
x->(-2)+
lim h(x) = h(2) = 0
x->(2)-
So the function h(x) is continuous from the left at 2
h(x) is continuous from the right at -2
※ 編輯: BaBi 來自: 114.46.136.10 (08/06 18:45)
※ 編輯: BaBi 來自: 114.46.136.10 (08/06 19:01)
※ 編輯: BaBi 來自: 36.234.226.150 (08/10 19:03)