如 #1FYZd7Nl 這串的回文
若θ固定, 那 lim r→0 也是沿著一直線逼近原點
以 gj 的例子實際來算, 當 r≠0
xy^2 r^3 cosθ sin^2θ cosθ sin^2θ
------- = ------------------------- = --------------------- ×r
x^2+y^4 r^2 cos^2θ + r^4 sin^4θ cos^2θ + r^2 sin^4θ
若cosθ≠0, 則 lim r→0 得到 0
若cosθ=0, 則 sinθ≠0, 接著 lim r→0 也是 0
(rcosθ)(rsinθ)^2
所以 lim ----------------------- = 0
r→0 (rcosθ)^2 + (rsinθ)^4
我相信書中把式子以極座標表示後, 不是 "把 r 趨近 0", 而是有其他如夾擠等
方法證明該極限值存在(夾擠到0)之類. 如以下例子:
(當然, 下面這題不用極座標也很好算)
xy(x^2-y^2)
lim -------------
(x,y)→(0,0) x^2 + y^2
原式用極座標表示為 r^4 cosθsinθcos2θ/r^2,
(x,y)≠(0,0)時就是 r^2 cosθsinθcos2θ.
所以顯然 (x,y)≠(0,0) 時 |原式|≦r^2, 因為 (x,y)→(0,0) 時 r→0
所以原式→0.
※ 引述《craig100 (不要問,很‧恐‧怖)》之銘言：
※ 引述《Edward56 (白面書生段譽)》之銘言：
: : lim
: : x,y->(0.0) x^2-y^2
: : --------
: : x^2+y^2
: : 這題，
: : 極限是不存在的
: : 算法是把ｘ，ｙ分別趨近於零，值會不一樣
: : 所以極限不存在
: : 那有人知道為什麼可以這樣算嗎？
: : 有什麼線索可得知要分開趨近於零
: 這種題目有兩種做法 而這兩種方法的意義是相同的
: 法一: 令y=mx m為任意實數
: 意義上就是用各種斜率去逼近原點
: 所以原極限:
: x^2 -(mx)^2 1-m^2
: lim --------------- = lim ---------
: x->0 x^2 +(mx)^2 x->0 1+m^2
: 因為m為任意實數 所以原極限不存在
: 法二: 令x=rcosθ y=rsinθ θ為任意實數
: 意義上就是用各種角度去逼近原點
: 所以原極限:
:
: (rcosθ)^2 -(rsinθ)^2 (cosθ)^2-(sinθ)^2
: lim ------------------------- = lim ----------------------
: r->0 (rcosθ^2) +(rsinθ)^2 r->0 (cosθ)^2+(sinθ)^2
: cos2θ
: =lim -----------
: r->0 1
:
: 因為θ為任意實數 所以原極限不存在 #
: → suhorng:這樣寫要小心 因為等號其實是不對的 118.166.52.102 08/05 11:04
: → suhorng:我是說寫 lim 這樣不太好 118.166.52.102 08/05 11:05
: 推 gj942l41l4:不過y=mx逼進結果相同也不代表一定存在 182.235.116.67 08/05 19:00
: → gj942l41l4:就是 182.235.116.67 08/05 19:00
: → gj942l41l4: 近 182.235.116.67 08/05 19:00
: 可否請兩問高手舉個例子
: 因為小弟在修高微時 這樣的寫法並沒有被糾正過
: (當然也有可能是小弟我的助教沒挑到這個小毛病)
: 推 gj942l41l4:小提琴14.2ex3 f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4) 182.235.116.67 08/06 11:04
: → gj942l41l4:用y=mx,m為常數會逼近到0 182.235.116.67 08/06 11:05
: → gj942l41l4:但用x=y^2逼近會逼到1/2 182.235.116.67 08/06 11:05
: → gj942l41l4:法二我猜也有類似問題只是手邊沒例子 182.235.116.67 08/06 11:07
: 感謝指教!!
: 小的用Larson9e的初微課本是教第二種逼近法 感覺應該比較沒問題= =?
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※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.44.85 (08/07 11:55)