Re: [極限]一題

[suhorng ( )]

※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言：
: ※ 引述《suhorng ( )》之銘言：
: : 如 #1FYZd7Nl 這串的回文
: : 若θ固定, 那 lim r→0 也是沿著一直線逼近原點
:     lim h(r,θ) = L
:    r→0+
: 的意義是:
:     For any ε>0, there exists a δ>0, such that
:        |h(r,θ)-L| < ε whenever 0<r<δ

不好意思 我想請問一下這部份

寫 lim h(r,θ) = L 是把它當成單變數極限嗎? 若是, 那這跟
  r→0+

直接 |h(r,θ) - L| < ε應該不太一樣, 因為單變數極限下θ是視同固定的?

在θ會變跟θ不會變的情況下, |h(r,θ) - L| < ε的狀況也不同

舉一樣的例子來說, f(x,y) = xy^2/(x^2 + y^4), 當(x,y)→O時極限不存在. 而

             r cosθsin^2θ
h(r,θ) = --------------------
          cos^2θ + r^2sin^4θ

則
         r cosθsin^2θ
 lim ---------------------- = 0
r→0+ cos^2θ + r^2sin^4θ

因為當 cosθ≠0 時, |h(r,θ)|≦ r |sin^2θ/cosθ| → 0 當 r→0+
    當 cosθ = 0 時, h(r,θ) = 0 (因為 r > 0, sin^2θ≠0)

但是

    lim  h(r(x,y), θ(x,y)) 不存在. f(x,y) 當沿著 x = y^2 逼近時的極限為 1/2.
(x,y)→(0,0)

也就是說, 我們可以選θ使得 cosθ = r sin^2θ

這樣 h(r,θ) = 1/2

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◆ From: 118.166.44.85
→ yhliu:你是對的!
推 znmkhxrw:y大repo的那篇的(2)加上uniformly即可?
→ znmkhxrw:delta的選取與theta無關
推 craig100:樓上說的好像是對的!!!
→ suhorng:嗯嗯!