[微分] 求426^1/4近似值

[Trewf (Trewf)]

這是我的算法，但是答案與計算機算出的值有落差...

426^(1/4)=(4^4 + 170)^(1/4)=4 * (1 + 170/256)^(1/4) -------A

f(x+h)=(x + h)^(1/4) -------B
f(x)=x^(1/4) -------C   //四次根號內的x=1, h=170/256 ------E
f'(x)=1/4 * x^(-3/4) -------D   //f(x)的微分

f(x+h) = f'(x) * h + f(x)   //由f(x)微分的定義推導而來

B, C ,D 式代入f(x+h):
f(x+h) = 1/4 * x^(-3/4) * h + x^(1/4)
       = 1/4 * 1 * 170/256 + 1   //E式代入
       = 170/1024 + 1 = 597/512
       = 1.166015625

將1.166015625代回A式:
426^(1/4) = 4 * 1.166015625 = 4.6640625 #

本算式的答案為4.6640625,但是計算機按出來的卻是4.543101082...
接著驗算，我的答案(4.6640625)^4並非426，而是473...

結論是我的算式有問題，但是我找不到Orz
有請解惑。

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◆ From: 1.163.25.15
→ yhliu:一階微分近似之誤差 (1/2)f"(c)h^2,
→ yhliu:此例 c 介於 256 與 426 之間, h=170.
→ yhliu:經計算, 絕對誤差在 0.1654 之內.
→ yhliu:4.664-4.543 = 0.121 在上列誤差界限內.