Re: [積分] 積分求救

[BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)]

※ 引述《metastable (清士)》之銘言：
:           (1 - X^2 )^(1/2)
:       ∫---------------------dx
:              2 X^2  - 1
:                        a                   b
: 我試過用分式去看 ---------------- + --------------
:                     √2 X^2 + 1      √2 X^2 -1
: 找不到答案
:                   -1         x                        -1
: ANS 是  - (1/2)tanh   ---------------   - (1/2) sin x
:                        (1-x^2)^(1/2)
: 有誰能告訴我怎麼積分?


        上下同乘 √( 1 - x^2 )

                            x^2 - 1
        原式 = ∫----------------------------- dx
                  (√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )


             = (1/2)[ arctanh(x/sqrt(1-x^2)) - arcsinx ]


                 - arctanh(x/sqrt(1-x^2))

             = (1/2)[ -arctanh(x/sqrt(1-x^2)) - arcsinx ] + c


        -----

        不負責任的話可以丟多項式讓你去從答案湊,
        但是還是留一下過程好了,
        至於分子是 x^2 那項, 就乘 2/2, 再加一減一拆項就可以了



        Let x = sint   dx = cost dt

            √( 1 - x^2 ) = cost

                           1
        Then ∫-------------------------- dx
                ( 1 - 2x^2)√( 1 - x^2 )

                         cost
           = ∫------------------------ dt
                [ 1 - 2(sint)^2 ] cost


                      1                      (sect)^2
           = ∫--------------- dt = ∫---------------------- dt
                1 - 2(sint)^2          (sect)^2 - 2(tant)^2

                  (sect)^2                 1
           = ∫-------------- dt = ∫-------------- d(tant)
                1 - (tant)^2          1 - (tant)^2

           = arctanh(tant) + c


                      x
        tant = ---------------
                √( 1 - x^2 )










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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.41.128.6
→ BaBi:這題也太坑人Q____Q
→ BaBi:建議先積後項, 後項積完可以拿來前項拆
→ Sumino:你在帶sin做變數變換的時候 好像有點問題
→ Sumino:上面是(-cos)^2 不是1...
→ Sumino:可以留詳細點嗎 我對第一項有點問題~"~
        哪裡來的(-cos)^2咧@@?
※ 編輯: BaBi            來自: 114.41.128.6         (04/01 00:00)
→ Sumino:可以求全部過程嗎? 一直差一個負號頭很痛XD
→ BaBi:厄... 哪邊還需要詳細些咧Orz
→ Sumino:前面那項 拜託 B大了m(_ _)m
→ BaBi:x^2那項?
                              x^2
               ∫----------------------------- dx
                  (√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )

                           ( 2x^2 - 1 ) + 1
            = (1/2) ∫----------------------------- dx
                       (√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )

                              1
            = (-1/2) ∫-------------- dx
                        √( 1 - x^2 )

                                         1
                + (1/2) ∫----------------------------- dx
                           (√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )

            = (-1/2)(arcsinx) + (1/2)[arctanh(x/sqrt(1-x^2)]
※ 編輯: BaBi            來自: 114.41.128.6         (04/01 00:18)
→ Sumino:我現在在抓自己做法的bug 一直差一個負號..
→ BaBi:這題有夠煩, 不知道是哪裡來的題目...
→ Sumino:抓到了我的bug了 好蠢 算太快忘了有變號~"~
→ Sumino:考場出現這題就送他 有時間壓力應該解不出
→ BaBi:這種要留到最後再算Orz
→ Sumino:計算真的太煩~"~
→ BaBi:但是現在看起來又還好... 被虐成性了嗎Q_Q
→ Sumino:人家已經給你答案 也沒時間壓力 不會緊張..
推 metastable:謝謝b大  感覺這題過程好煩