※ 引述《winter5690 (bbv)》之銘言：
: 請教各位大大
: f(X)=對(1-x^2)^5 五次微分, find 從0~1之f(x)^2的積分?
: 感謝!!
(1-x^2)^5 在 [-1,1] 是偶函數, 故 f(x) 為奇函數.
值偶函數微分為奇函數, 奇函數微分為偶函數.)
故 (f(x))^2 又是偶函數. 所以
1 1
∫ (f(x))^2 dx = (1/2)∫ (f(x))^2 dx
0 -1
令 f_k(x) 代表 (d^{5+k}/dx^{5+k})(1-x^2)^5,
k = -5, -4, ..., 5.
1
∫ (f(x))^2 dx
-1
1
= [f_0(x)f_{-1}(x)-f_1(x)f_{-2}(x)+...+f_4(x)f_{-5}(x)]
-1
1
- ∫ (1-x^2)^5 (d^10/dx^10)(1-x^2)^5 dx
-1
1
= ∫ 10!(1-x^2)^5 dx
-1
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