→ s890269:可以問一下三角形區域用極座標表示 163.25.118.196 05/13 20:35
→ s890269:r的範圍下限為甚麼是1/(cos+sin)嗎!? 163.25.118.196 05/13 20:36
→ s890269:啊啊,我瞭解了,謝謝解答 163.25.118.196 05/13 21:04
※ 引述《s890269 (賽)》之銘言：
: 這裡有成大的兩題我想要問問看
: 98年的第五題
: 2n
: lim e^n ∫ e^-x^2 dx
: n→∞ n
: 看到這題我應該要如何下手才好!?
2t 2t
e^t ∫ e^{-x^2}dx = ∫ e^{-x^2} dx / e^{-t}
t t
當 t→+∞ 時分子分母同時趨近 0, 因此可用 l'Hospital's
rule, 得
(2e^{-(2t)^2}-e^{-t^2})/(-e^{-t})
= -2e^{-4t^2+t} + e^{-t^2+t} → 0 當 t→∞
所以得原極限是 0.
另法: 因 e^{-x^2} 在 [0,∞) 遞減, 故
∫_[n,2n] e^{-x^2} dx ≦ n e^{-n^2}
故
e^n∫_[n,2n] e^{-x^2} dx ≦ n e^{-n^2+n} → 0 當 n→∞
由於 e^n∫_[n,2n] e^{-x^2} dx 為正, 依夾擠定理得
原極限為 0.
: 98年的第10題
: 1 x ＿＿＿
: ∫ ∫ 1/√x^+y^2 dydx
: 1/2 1-x
: 這題用極坐標轉換之後,我該如何取積分的上下限?
積分範圍 {(x,y): 1-x≦y≦x, 1/2≦x≦1} 畫出圖形,
可看出是一個三角形區域. 用極座標表示, 為
{(r,θ): 1/(cosθ+sinθ)≦r≦1/cosθ, 0≦θ≦π/4}
故
π/4
原式 = ∫ 1/cosθ-1/(cosθ+sinθ) dθ
0
1/cosθ = secθ 的反導數是 ln|secθ+tanθ|+C;
1/(cosθ+sinθ) = (1/√2)sec(θ-π/4), 反導數為
(1/√2)ln|sec(θ-π/4)+tan(θ-π/4)|+C.
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