※ 引述《metastable (清士)》之銘言：
: If b > a > 0
: ∞ arctan(bx)-arctan(ax) π ︱ b ︳
: (a)∫ ------------------------ dx = ---- ㏑︱---︳
: 0 x 2 ︱ a ︳
: ∞ cosax - cosbx ︱ a ︳
: (b)∫ ------------------------ dx = ㏑︱---︳
: 0 x ︱ b ︳
: -ax -bx
: ∞ e - e ︱ b ︳
: (c)∫ ------------------------ dx = ㏑︱---︳
: 0 x ︱ a ︳
: 三題 有誰能告訴我他怎來的嗎 ??
∞ arctan(bx) - arctan(ax)
(a) ∫ ------------------------- dx
0 x
∞ arctan(xy) |y = b
= ∫ ------------| dx
0 x |y = a
∞ b 1
= ∫ ∫ ------------ dy dx
0 a 1 + (xy)^2
b ∞ 1
= ∫ ∫ ------------ dxdy
a 0 1 + (xy)^2
b R 1
= lim ∫ ∫ ------------ dxdy
R→∞ a 0 1 + (xy)^2
b arctan(xy) |x = R
= ∫ (lim ------------| ) dy
a R→∞ y |x = 0
b arctan(R)
= ∫ (lim -----------) dy
a R→∞ y
b π 1
= ∫ (---)(---) dy
a 2 y
π |b
= (---)(ln|y|)|
2 |a
π π b
= (---)(lnb - lna) = (---)(ln(---))
2 2 a
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.24.203.60