作者newversion (海納百川天下歸心)
看板trans_math
標題Re: 積分問題
時間Sun May 19 18:30:47 2013
※ 引述《metastable (清士)》之銘言：
: If b > a > 0
: ∞ arctan(bx)-arctan(ax) π ︱ b ︳
: (a)∫ ------------------------ dx = ---- ㏑︱---︳
: 0 x 2 ︱ a ︳
: ∞ cosax - cosbx ︱ a ︳
: (b)∫ ------------------------ dx = ㏑︱---︳
: 0 x ︱ b ︳
: -ax -bx
: ∞ e - e ︱ b ︳
: (c)∫ ------------------------ dx = ㏑︱---︳
: 0 x ︱ a ︳
: 三題 有誰能告訴我他怎來的嗎 ??
這個叫 Frullani's Integral
lim f(x) 存在 記做 f(∞)
x->∞
∞ f(ax) - f(bx)
∫ -------------------- dx = [f(∞) - f(0)] ln (a/b)
0 x
這三題 f(x) = arctan, cos, exp 都有很好的性質，可用積分交換順序
更一般的CASE， f(x)只要連續，不一定可微，就不能用積分交換順序了
不過證明頗難，之前老師有教過，現在忘光光了！
對了， (b)小題並不滿足 Frullani's Integral條件
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◆ From: 140.112.251.86
※ 編輯: newversion 來自: 140.112.251.86 (05/19 18:39)
→ BaBi:受教了 Orz 114.46.149.152 05/19 18:42
→ BaBi:剛剛翻了下Wolfram和wiki, 條件好像是 114.46.149.152 05/19 18:43
→ BaBi:f'(x)連續且積分值收斂 114.46.149.152 05/19 18:43
→ newversion:Wolfram 條件太強了 140.112.251.86 05/19 19:08
推 metastable:推~~ 140.114.123.74 05/19 19:23