[考古] 台大101數學系微積分(A)

[Honor1984 (希望願望成真)]

因為Babi在數學板問台大101數學系微積分(A)的第三題

數學板不知道什麼時後刪文

為了方遍以後想找的人

我在這邊再貼一遍

這個問題是(也許不是考題!請見推文下方的註解)

            kysin(kr1)sin(kr2)
     ∫∫ ---------------------- dxdy
        D          r1r2
     where k is a constant, r1 = sqrt((x+1)^2+y^2)
                            r2 = sqrt((x-1)^2+y^2)
     and D is the half of the ellipse √[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2] ≦4
     , which is in y > 0.


我的回答是

原積分I = 2∫∫ f(x,y) dxdy
        橢圓第一項限D'

令u = sqrt((x+1)^2+y^2) + sqrt((x-1)^2+y^2)

  w = 4x

          sin(kr_1)sin(kr_2)       r_1 r_2
I = 2∫∫────────── ky ──────  dw du
      D'      r_1    r_2             4yu

     -k
  = ──∫∫ [cos(ku) - cos(kw/u)](1/u)  dw du
     4   D'

     k       sin(kw/u)                     2u
  = ──∫ [──────  - (w/u)cos(ku)] |     du
     4          k                          0

     k       sin(2k)
  = ──∫ [───── -  (2)cos(ku)] du
     4          k

     k        u sin(2k)      2 sin(ku)   4
  = ──   [────── -   ─────]|
     4          k                k       2

     k      2 sin(2k)      2sin(4k) - 2sin(2k)
  = ── [ ────── -  ─────────  ]
     4         k                  k


  =   sin(2k)  -  (1/2) sin(4k)


  =   sin(2k) - sin(2k)cos(2k)


  =  4 cos(k)[sin(k)]^3
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.220.147.235
推 BaBi:原來是這樣換... Orz
→ BaBi:一開始換掉後雖然可以消, 但是範圍好麻煩>"<
→ Honor1984:嗯 這題出得非常好 有很多重點 但是在時
→ Honor1984:間有限的情況下 我不覺得出題者期待考生
→ Honor1984:每題都做得出來
→ craig100:對 這題我放棄
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.159.5        (07/03 05:49)

剛剛看到原發問者寄給我的信通知我
題目中D is the half of the ellipse [(x+1)^2+y^2] + [(x-1)^2+y^2] ≦4
沒有根號......

這裡特別註明一下陰錯陽差的小過程

一開始Babi打成D is the half of the ellipse [(x+1)^2+y^2] + [(x-1)^2+y^2] ≦1
我當初很直覺用ellipse的定義√[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2]=const跟Babi推文
不可能≦1的理由就是在這裡
後來Babi真得把1改成4
所以我就以√[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2]≦4這個上半橢圓去計算這個積分
以上所打的過程的D我是用區域√[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2]≦4去計算
不管這樣的D到底是不是出題者想要考的
D為上半橢圓是一個很出得不錯的積分問題

其實我不知道到底是考題加忘了根號使它成為一般橢圓的定義條件
√[(x+1)^2+y^2] + √(x-1)^2+y^2 ≦4
或者是出題者真得就只是在搞一個無聊的陷阱
x^2 + y^2 ≦ 1

如果是前者
我做出來的答案確定是正確的
如果是後者單純的圓形區域
我想各位有興趣可以試著練習看看
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.159.5        (07/04 03:02)
推 BaBi:XD
推 Yugen: