Re: [微方] 重力位

[Eliphalet (一點浩然氣，千里快哉風)]

※ 引述《jamalmit (Major)》之銘言：
: 請教各位大大
: ΔV=-4πGρ 該怎麼推導阿= =
: V=Gm/L (重力位) (L:距離)
: G (萬有引力常數)
: ρ(質體密度)
: 我的想法是從重力位的積分形式去推
: V=G∫∫∫(ρ/r)dv
: ΔV=Vxx^2+Vyy^2+Vzz^2
: 我積出來怎麼都是0...= =
: 我該怎麼表示出距離與地球半徑之間的關係
: L>R ΔV=0
: L<R ΔV=-4πGρ
: 感謝


 因為你的 V 算的有問題...  這個可以直接算

 因為只跟距離有關，不失一般性，可以只計算 ΔV(0,0,L)， L < R

 設地球質量是 uniformly distributed，


  => V(0,0,L) = Gρ∫   [1/sqrt(x^2+y^2+(z-L)^2)] dxdydz ， B_R = B_R(0)
                    B_R

                    R  π  2π        r^2 sinφ dθdφdr
              = Gρ∫ ∫ ∫     ------------------------------
                    0  0   0      sqrt(r^2 + L^2 - 2rLcosφ)


                        R  π         r^2 sinφdφdr
              = 2πGρ ∫ ∫   ------------------------------
                        0  0     sqrt(r^2 + L^2 - 2rLcosφ)


                        R    r    r^2+L^2+2rL      du
              = 2πGρ ∫  ----- ∫            ------------ dr
                        0   2L    r^2+L^2-2rL     sqrt(u)

                        R    r
              = 2πGρ ∫  ----- [ (r+L) - |r-L| ] dr
                        0    L


              = 2πGρ( R^2 - 1/3 * L^2)



   也就是說，當 |x|=r， V(x) = 2πGρ( R^2 - 1/3 * r^2)

   因為 V 是 radially symmetric， |x| = r 時


     ΔV(x) = V_{rr} + 2/r * V_r


            = - 4πGρ


   有錯請見諒


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