Re: [積分] 不定積分

[BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)]

※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《simcity2013 (ONLY THE STRONG SURVIVE)》之銘言：
: :       e^xsinxcosx            x+sinx             1
: : (1)∫-------------dx   (2)∫-------dx  (3)∫----------dx
: :       (sinx+1)^2             1+cosx          secxtanx
: :                                             1   1+cosx
: : 求解(1)(2) 還有想確定(3)的答案是否為cosx - ---ln------- +c
: :                                             2   1-cosx
: : 謝謝!!

也不算是比較好的解法, 但也算是微積分課本會提到的,
利用 e^x 微分或積分後仍存在的特性,
又此題分母為 (sinx+1)^2

                             exp(x)f(x)
可令不定積分結果 G(x) + c = ------------ + c
                              sinx + 1

微分後可得

        exp(x)(sinx+1)^2 [f(x)+f'(x)] - 2exp(x)cosxsinxf(x) - 2exp(x)cosxf(x)
G'(x) = ---------------------------------------------------------------------
                                  (sinx + 1)^2

整理後比較係數可得f'(x)=-sinx, f(x)=cosx+1

不過比較的時候有點醜就是了…
應該有更好的解法或假設法。

: 目前板上沒有貼出(1)的解答
: 先說好
: 我把這篇貼出來是希望看到比這好更直接的方法
: 所以如果有其他人做出(1)
: 請也把過程分享給大家吧
:    e^xsinxcosx
: ∫-------------dx
:    (sinx+1)^2
:   -exp(x)sinx          exp(x)[sin(x) + cos(x)]
: = -----------  +    ∫--------------------------dx
:    sinx + 1                (1 + sin(x))
:    -exp(x)sinx                  exp(x)[cos(x) - 1]
: = ------------- +   exp(x) + ∫--------------------------dx
:     sinx + 1                     [1  +  sin(x)]
:    exp(x)           exp(x)[cos(x) - 1]
: = ----------- + ∫--------------------------dx -------(1)
:   sinx + 1            [1 + sin(x)]
: sin(x)cos(x)        cos(x) - 1      cos(x) - 1  '
: --------------   =  ------------ - [-----------]
: (1 + sin(x))^2      sin(x) + 1      sin(x) + 1
:    e^xsinxcosx
: ∫-------------dx
:    (sinx+1)^2
:      exp(x)[cos(x) - 1]         exp(x)[cos(x) - 1]
: = 2∫-------------------dx   -   ----------------- --------(2)
:        sin(x) + 1                 sin(x) + 1
: 由(1)、(2)
:   exp(x)[cos(x) - 1]        exp(x) cos(x)
: ∫-------------------dx =  ------------------
:     sin(x) + 1              sin(x) + 1
: 所以
:    e^xsinxcosx
: ∫-------------dx
:    (sinx+1)^2
:   exp(x)[cos(x) + 1]
: = --------------
:    sin(x) + 1
: 結束

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.138.1
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/trans_math/M.1398276215.A.A76.html
→ Honor1984   :你可以把你比較的過程寫出來嗎? 你有先假設f(x)形式?
→ Honor1984   :你的做法我也想過 但是實務上怎麼能保證? 解微分方程
→ Honor1984   :除非設f(x) = acosx + bsinx + c萬一不是呢?
→ Honor1984   :有沒有可能cosxsinx項的產生?各種可能....還是可以排
→ Honor1984   :除哪些可能?
這的確是很難比較的地方, 最起初我是先由 f'(x) 出發以最簡單的+-sinx或+-cosx代入
去尋找是否能夠消去部分項次, 但發現單純只考慮 f'(x) 無法有效消去同型項, 改以假
設 f(x) 為 +-sinx 或 +-cosx 並配合其 f'(x) 去消後發現可以消去部分項次卻仍有餘
項存在。再配合 f(x) + K 去湊。

不過我真的沒直接考慮 f(x) = acosx + bsinx + c...，這樣湊起來太複雜了
※ 編輯: BaBi (114.46.138.1), 04/24/2014 02:55:30
→ Honor1984   :嗯 因為sin cos有很多變化 又有sin^2 + cos^ = 1的性
→ Honor1984   :質 所以我看只能碰運氣猜簡單的形式 另外解微分方程
→ Honor1984   :也沒用 因為最後還是會回到這個積分