[極限] 證明極限連續,可微

[skyghostlove (Chris)]

各位好:

(1)
          1
g(x)= sin──, x≠0
          x

       0     , x＝0

則g(x)在x=0處是否連續?說明之.


(2)
           1
f(x)= xsin── ,x≠0
           x


      0        ,x＝0

show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0.

剛碰到證明題,不知該如何下手?

煩請高手解說.

另外一問,請問證明比較多的書籍,可否推薦?

謝謝.


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推 BaBi        : 這兩題其實只是要你求極限，只要極限存在且函數值存
推 BaBi        : 在，又極限值等於函數值就是連續，至於可不可微可以
→ BaBi        : 直接計算其導函數定義的極限值是否存在
→ skyghostlove: 謝謝.這樣我知道怎麼寫了,剛碰到證明有點不知怎下手
→ skyghostlove: 謝謝解說
→ yhliu       : (1) 取 x(n) = 2/(nπ), 則 g(x(n)) 無極限, 因此
→ yhliu       :     得證 x 逼近 0 時函數極限不存在, 當然不連續.
→ yhliu       : (2) 用夾擠定理可證 x 逼近 0 時函數極限存在且等於
→ yhliu       :     x=0 時的函數值, 故連續. 至於不可微, 如前面網
→ yhliu       :     友說的, 代入導數之定義式, 證明定義之極限不存
→ yhliu       :     在.
→ skyghostlove: 所以依上述所說,只能用x(n)=2/nπ證明極限不存在,因
→ skyghostlove: 其值會在正負1擺動,所以不存在.觀念上了一課,感謝
→ BaBi        : 2/nπ是一種取法，你也可以用其他方式，只要能夠顯
→ BaBi        : 示在x->0時（不論你x怎麼取），極限非唯一就可以
→ skyghostlove: 懂了,謝謝幾位前輩指教