作者skyghostlove (Chris)
看板trans_math
標題Re: [極限] 證明極限連續,可微
時間Mon Dec 15 12:49:51 2014
※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言：
: 各位好:
: (1)
: 1
: g(x)= sin──, x≠0
: x
: 0 , x＝0
: 則g(x)在x=0處是否連續?說明之.
: (2)
: 1
: f(x)= xsin── ,x≠0
: x
: 0 ,x＝0
: show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0.
: 剛碰到證明題,不知該如何下手?
: 煩請高手解說.
: 另外一問,請問證明比較多的書籍,可否推薦?
: 謝謝.
照著上述大大所提示,我證明的方式如下,煩請指正錯誤
(1)
1
lim sin(──)
x→0 x
1
-1<sin(──)<1
x
lim (-1)=-1
-
x→0
lim (1)=1
+
x→0
1
因此lim sin(──)不存在
x→0 x
1
又lim sin(──)≠g(0)
x→0 x
∴故f(x)在x=0處不連續.
1
sin(──)-f(0)
x
f'(x)=lim ───────
x→0 x-0
1
sin(──)
x
=lim ───────
x→0 x
1
-1<sin(──)<1
x
1
sin(──)
1 x 1
-── < ────) < ──
x x x
1
lim (-──)=∞
- x
x→0
1
lim (──)=∞
+ x
x→0
∴g(x)在x=0處不可微分.
----------------------------------------------
(2)
1
lim xsin(──)
x→0 x
1
-1<sin(──)<1
x
1
-x< xsin(──)< +x
x
lim (-x)= 0
-
x→0
lim (x) = 0
+
x→0
1
因此lim xsin(──)=0存在
x→0 x
1
又lim xsin(──)=f(0)=0
x
∴故f(x)在=0處連續.
1
xsin(──)-f(0)
x
f'(x)= lim ────────
x→0 x-0
1
xsin(──)
x
= lim ────────
x→0 x
1
=lim sin(──)
x→0 x
1
-1<sin(──)<1
x
lim -1 =-1
-
x→0
lim 1 = 1
+
x→0
∴f(x)在x=0處不可微分.
以上這樣寫分數都會拿到嗎?
還是要補充哪些?
謝謝.
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→ keith291 : 夾擠用錯 12/15 12:53
→ keith291 : 把定理重新看一遍 他只能用來證明"極限存在" 12/15 12:55
→ keith291 : 沒辦法用來證明不存在 12/15 12:56
→ skyghostlove: 能否請k大解說,不存在之處要如何證明,謝謝 12/15 13:05
→ BaBi : 他的不存在是因為值在負一和一之間震盪，你可以想想 12/15 15:00
→ BaBi : 怎麼讓人知道他在x趨近零的過程中，值並非唯一？ 12/15 15:03