[教材] 高中數學 極大值極小值題型歸納

[alamabarry (123)]

來分享極大極小值題型的分類與解題方法

希望版上的人能幫我補足我漏掉的地方

遇到題目求最大或最小值大致可以往幾個方向去找

才不會遇到無從下手

〔題型一〕　拋物線型（二次多項式型）

            y=ax^2+bx+c

           配方法求解

*變化型*  (1) x有範圍限制時
          (2) x改寫成sin(z)       -1<=x<=1
          (3) x改寫成log(z)       x沒有範圍限制  z>0
          (4) x改寫成z^2          x>=0
          (5) x=sin(z)+-cos(z)    -2^0.5 <=x<=2^0.5 (混合疊合或科西)
          (6) x=a^z+a^-z          x>=2  (混合算機不等式)
          (7) x=a^z               x>0

〔題型二〕  高次多項式型

            y=a+bx+cx^2+dx^3+e........

            利用微分為零求極大極小值

〔題型三〕 科西不等式 (內積)            "相加"與"相加"的極值
                      　　　　　
          平方ｖｓ一次型：　(ax^2+....)(..常數..)>=(bx+.....)^2

          一次ｖｓ倒數型：　(ax+......)(bx+.....)>=(..常數..)^2

*變化型*  (1) y=a*cosx+b*sinx (三角函數疊合另解)

              cos^2x+sin^2x=1

          (2) 方向角 i j k  y=a*cosi+b*cosj+c*cosk
                            y=a*sini+b*sinj+c*sink

          cos^2i+cos^2j+cos^2k=1   sin^2i+sin^2j+sin^2k=2

〔題型四〕算術平均數大於等於幾何平均數   "相乘"與"相加"的極值

          (a+b+c+....)/n >= (abc...)^(1/n)   (a b c d >0)

*變化型* (1) a+b+c vs a^i*b^j*c^k

[(a/i+a/i+..)+(b/j+.)+(c/k+.)]/(i+j+k)>=[(a/i)^i*(b/j)^j*(c/k)^k]^(1/(i+j+k))

         (2) a*b*c vs i*a+j*b+k*c

         (3) a^z+a^-z      (a^z+a^-z)/2>=(1)^0.5

〔題型五〕 三角函數的疊合(和角公式)   (可用柯西較快速，求等號成立條件)

           y=a*sin(x)+b*cos(x)

*變化型*   y=a*cos^2(x)+b*sin(x)*cos(x)+c*sin^2(x) 兩倍角型

           y=a(sin(x)+-cos(x))+b*sin(x)*cos(x)  三角函數疊合混合拋物線型
                                                令t=sin(x)+-cos(x)

〔題型六〕 幾何型 曲線上某一點有極值(動點)

           作圖法(較直觀易判斷錯誤)：用作圖判斷該點位置

           相切處(較直觀易判斷錯誤)：判別式為零或其他相切公式或定理

           參數式：利用參數式來求，會變成其他題型

*特殊型*   必用幾何解法

          (1)兩點在一直線同側，求線上一點使得距離和為最小值

          (2)兩點在一直線異測，求線上一點是得距離差絕對值為最大


〔題型七〕線性規劃型 (線性不等式)

          法一：可代個交點求極大極小值

　　　　　法二：將目標函數令為ｋ，利用ｋ所代表的y軸截距或斜率來判斷極值發生處

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◆ From: 218.171.208.177
※ 編輯: alamabarry      來自: 218.171.215.125      (06/20 12:06)
推 etkj2000tw:整理得真好  大推~~~
※ etkj2000tw:轉錄至看板 RESIT                                     06/20 17:32
推 etkj2000tw:借轉喔^^
→ TwoOneboy:還有好幾種類型 但其實分這麼多類沒意義
→ TwoOneboy:知道配方 算幾 柯西 微分就可 其他題型硬扯進來反而難記
推 alamabarry:幾何解法有他的優點阿...計算快速..有些不用幾何很難算
推 alamabarry:整理不同變化型只是訓練反應及辨別能力..
→ alamabarry:不同分類只是為了同質性一併編入的
※ 編輯: alamabarry      來自: 218.171.215.125      (06/21 03:29)
→ TwoOneboy:可以加個判別式法 再加入絕對值連加的那種
→ TwoOneboy:另外幾何解法可以分細一點 幾何解法範圍太廣了
→ TwoOneboy:另外其實積分也可以用來算面積的極大極小值
→ TwoOneboy:但我覺得這些都是不同題目耶 湊在一起我反而會混淆
→ TwoOneboy:我上面不是說幾何解法沒必要啦 而是說幾何解法的題目
→ TwoOneboy:很明顯和代數的題目不同 如果是代數的題目
→ TwoOneboy:才比較有需要去考慮要什麼麼解法 而其他題型幾乎都是一
→ TwoOneboy:種題目對應一兩種解法 而那解法也是其他題目較少用到的
→ TwoOneboy:所以把這一大堆解法歸類在一起 我覺得太過龐雜
→ TwoOneboy:當然 說了這麼多 還是很肯定原po整理出這一篇的用心~~
推 alamabarry:感謝你的意見..判別視法我歸類為幾何法..
推 alamabarry:在相切的特性...可是我覺得這法稍直觀..
→ alamabarry:線性的比較不容易出錯
→ alamabarry:幾何的問題參數解法就會回到代數..我覺的都可以用
→ alamabarry:可能大家習慣不一樣吧...我喜歡把相似的東西歸類..
→ alamabarry:寫出他較廣義的題型.這樣我在教學上比較不會漏掉
→ alamabarry:也可以很迅速的知道大概的方向.久沒碰有時候會忘記題型
→ alamabarry:@@還有我在整理後才發現疊合好像跟科西有關西..
→ alamabarry:這我沒想過~~不知道大家覺得哪一種比較好呢?
→ alamabarry:柯西可能在判斷極大極小條件會有點點問題吧..
→ TwoOneboy:當θ有範圍限制 就無法用柯西了 所以疊合還是要學
→ TwoOneboy:另外我說的判別式法 是y=(2x-3)/(3x^2+2x-5) 這類
※ 編輯: alamabarry      來自: 218.171.210.163      (06/21 18:39)