※ 引述《iamvanson (Vanson)》之銘言：
: 1.年級：高三
: 2.科目：數學
: 3.章節：不等式
: 4.題目：
: 1.(n+1)/2 >(n!)^(1/n)
: 2.n^n >=1*3*5*...(2n-1)
思考對象 n^n 是n個相乘 1*3*5...(2n-1) 也是n個相乘
如果 n > 右式最大項 即可得證 但是去做之後發現不可能
所以就可考慮將n^n分組 將1*3*5...(2n-1) 分組在來比大小
分成兩個對象一組
左式分成2個一組怎麼選都是 n*n = n^2
右式分組要分得有智慧一點，如果將 1*3 分一組 5*7分一組
最後那組是 (2n-3)*(2n-1) 這樣只要n大一點差距就太大了
所以考慮頭尾分組 1*(2n-1) 3*(2n-3)，會發現中間組相乘為最大
換句話說只要 n^2 > 中間組，整式即可得證
若n是奇數 則右式中間項為 n 則n^2 比其餘的兩組大
若n是偶數 則右式中間項為 (n-1)*(n+1) = n^2 -1
又 n^2 > n^2 -1 所以也成立
以上都是想法，想辦法將想法化為式子
若n為正偶數
則n^2 >(n-1)*(n+1) > 1*(2n-1) ， 3*(2n-3) ，....，(n-3)*(n+3)
∴n*n = n^2 > 1*(2n-1)
n*n = n^2 > 3*(2n-3)
.
.
n*n = n^2 > (n-1)*(n+1) = n^2-1
*_______________________________
n^n > 1*3*5*.....*(2n-1) -------(1)
若n為正奇數
左右兩式同乘n 左式即 n^(n+1) ，右式即 1*3*5*..(n-2)*n*n*(n+2)*...*(2n-1)
又n^2 >= 1*(2n-1)，3*(2n-3)，.......，(n-2)*(n+2)，n*n
∴n*n = n^2 > 1*(2n-1)
n*n = n^2 > 3*(2n-3)
.
.
n*n = n^2 >= n*n = n^2
*_______________________________
n^n >= 1*3*5*.....*(2n-1) --------- (2)
由 (1)(2)得 n^n >= 1*3*....*(2n-1) (n屬於N)
: 5.想法：
: 第一題我想先用兩邊各N次方展開，左邊我朝著梯形公式累加法去做，後來就卡住了..
: 第二題我是想用寫出來 寫兩行
: n n n n n n
: 1 3 5 7 9 11
: 再來找關係，結果也是卡住了..
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