→ crazymars:他這個選項的寫法的確有問題啊 XD 09/19 12:21
※ 引述《SovietUnion ()》之銘言：
: 去年甲種數學多選第5題：
: 5. 設P(x)是一個五次實係數多項式。若P(x)除以(x-3)的餘式是2，且商Q(x)是一個係數
: 均為正數的多項式，試問下列哪些選項是正確的？
: (1) P(x)=0與Q(x)=0有共同的實根
: (2) 3是P(x)=2唯一的實根
: (3) P(x)不能被(x-4)整除
: (4) P(x)=0一定有小於3的實根
: (5) P(x)除以(x-3)(x+3)的餘式也是2
: 我的解法如下：不知道我這樣講對不對?
: 令P(x)=(x-3)Q(x)+2，[又令Q(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e又a、b、c、d、e皆>0]
: (1)∵Q(x)=0時P(x)必定=2，∴滿足Q(x)=0並沒辦法同時滿足P(x)=0，P(x)與Q(x)根本
: 不會有共同實根。
比較數學一點的寫法：
設a為共同實根，x=a代入, 得P(a)=(a-3)Q(a)+2 => 0=2 矛盾
: (2)舉個反例：若P(x)=(x-3)．(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+2，則x=3並不一定是P(x)=2的
: 唯一實數根
: (3)P(4)=1×Q(4)+2，∵Q(x)的所有係數都>0，∴x以任何正數代入Q(x)肯定會使Q(x)>0
: ，因此Q(4)>0→P(4)>0，故P(x)肯定不能被(x-4)整除
: (4)P(0)=-3Q(0)+2=2-3e→若要使P(0)=0，Q(0)=e=2/3即可
看不懂你的意思。
這題是考實係數奇次方程式至少有一實根。
因為x>=3 時, p(x)恒為正數, 沒有大於等於3的實根,
所以一定有一個小於3的實根。
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◆ From: 203.72.33.26