推 concent:非常感謝你~~~ 09/23 16:07
※ 編輯: leonwingic 來自: 123.204.64.245 (09/23 16:53)
※ 引述《concent (我知道)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：1-2向量的題目
: 4.題目：
: 有一個四面體OABC, 底面是正三角形ABC, 邊長是4,
: OA=OB=OC=a, OA和BC兩直線的距離是3^0.5,
: a=?
: 5.想法：
: 實在是完全沒頭緒XDDD
: 太弱了!!!!!
: 先謝謝了~
<92 數甲>
給你兩種作法參考 (1)作圖法
(2)笛卡耳座標法
<解一>作圖法
O點的投影點為△ABC重心G
BC中點M1 做AO點上M2使得M1M2垂直於OA
因為OA⊥M1M2且OM1⊥BC
故根據三垂線定理M1M2⊥BC
在三角形△AM1M2中
AM1 = 2*(3)^(1/2)
M1M2 = 3^(1/2)
=>角M2AM1 = π/6
故在三角形OAG中
角OAG = 角M2AM1 = π/6
因為AG = [4*(3)^(1/2)]/3
所以a = OA = 8/3
<解二>笛卡耳座標
設ABC在XY平面上
且A(0 , 2*(3)^(1/2) , O)
B(-2, O , O)
C(2 , 0 , 0)
M1(0 , 0 , 0) => M1為BC中點
則因為O點的投影在△ABC重心G,且 OA = a , 設角OAM = θ
所以 O ( 0 , [2*(3)^(1/2)]/3 , asinθ)
所以OA直線方程式 => x = 0
y = [-4*(3)^(1/2)]t/3 + 2*(3)^(1/2)
z = asinθ
由做AO點上M2使得M1M2垂直於OA
因為OA⊥M1M2且OM1⊥BC
故根據三垂線定理M1M2⊥BC
所以知道M1到OA直線的距離為3^(1/2)
→
M1A = 2*(3)^(1/2)
→ →
PA．u = 8/[(16/3) + (asinθ)^2]^(1/2)
→ → →
故 M到OA的距離為 [M1A^(2) - (PA．u )^2]^(1/2) = 3^(1/2)
=>asinθ = 4/3
所以O ( 0 , [2*(3)^(1/2)]/3 , 4/3)
A (0 , 2*(3)^(1/2) , O)
故a = OA = 8/3
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