[解題]高二數學空間

[hsukao (jelly)]

1.年級：高二
2.科目：數學
3.章節：空間中的平面與直線
4.題目：設P(x,y,z)是平面E：2x-y-4z-1=0上一點，試求
        根號[(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2]的最小值

5.想法：我用了兩種方法算得到不同的答案

        法一：利用參數式，令P(2t,-1,t) t屬於R
              然後將題目要求解的最小值利用配方
              所求=根號[(2t-1)^2+1+(t-3)^2]=根號[5t^2-10t+11]
                  =根號[5(t-1)^2+6]

              所以min=根號[6]

        法二：利用點到平面公式求解
              原式表(x,y,z)到點(1,-2,3)的距離最小值

              所以           │2+2-12-1│         9
                     min= ___________________ = ______

                           根號[2^2+1^2+4^2]    根號[21]

        解答給的是法二的答案

        但是同樣類似的題目用在平面上兩個方法會得到相同的答案

        請問我的法一是哪邊假設錯了?

        我檢查很久還是沒有頭緒...

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◆ From: 140.116.189.36
→ bombom:法一:y可以直接設在-1嗎?這樣不是就被定在y=-1的平面了?
→ Wantai:我也納悶為何法一可以這樣假設~平面上的點參數式應有兩變數
→ hsukao:那請問要怎麼假設才對呢?
→ Wantai:參數式 (x,2x-4z-1,z)  但這題我不會用參數式來解
→ Wantai:我會用法二 或是柯西不等式
→ hsukao:參數式 (x,2x-4z-1,z)?? 這樣不就有兩個變數?
→ hgrfds:平面也有參數式？？我只知道直線的耶？
→ Wantai:平面上的點 參數式本來就會有兩個變數了
→ Wantai:三個未知數(x,y,z) 只有一條方程式(就那一條)  3-1=2
→ Wantai:空間中的直線(比例式)可寫出獨立的兩條方程式 3-2=1(故設t)
我原本的想法是因為平面法向量是(2,-1,-4) 方向向量(2,0,1)
而平面必過點(0,-1,0)
所以我才會假設P(2t,-1,t)
但我發現若是直線這樣假設才對

於是我把假設錯的地方做修正
將方向向量改為法向量
所以P(2t,-1-t,-4t)
但這樣假設答案是根號[50/7] 還是錯

為什麼我會想要這樣假設
是因為我作到投影點的題目時
在平面上的動點假設也是
 X=X0+at
{Y=Y0+bt    (a,b,c)為平面法向量
 Z=Z0+ct
這個是書上寫的作法
※ 編輯: hsukao          來自: 140.116.189.36       (09/29 01:41)
→ hsukao:請大家告訴我的盲點在哪?謝謝QQ
推 Williamette:你假設的點根本就不在平面上阿 我根本看不懂你在幹嘛
→ flydick:你這樣假設的動點算出來跟(1,-2,3)不一定是最短距離吧
→ flydick:而且你假設的動點軌跡不一定會跟(1,-2,3)碰在一起
推 iceeye:平面參數式 沒看過你說書上的寫法 點在平面上可以3維移動
→ iceeye:你最後那個參數式 明顯的只是一條垂直平面的線