[解題] 三角函數求極值

[ALiu (柳葉寒)]

1.年級：高一
2.科目：數學
3.章節：高一下第三章三角函數

4.題目：
        f(x)=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)
        前面小括號是分子 後面的小括號是分母
        題目要問這個分式的最大值和最小值
5.想法：
      我令sinx+cosx=t => sinx*cosx=(t^2-1)/2
      f(x)=(t^2-1)/(2+2t)
      然後我令y=(t^2-1)/(2+2t)
      化簡後得到t^2-2yt-(2y+1)=0
      因為t是實數
      所以上面的方程式有實跟
      => (2y)^2+4(2y+1)>=0
      展開後得4y^2+8y+4>=0
      y^2+2y+1>=0
      (y+1)^2>=0
      所以y屬於R
      這樣不就表示原式不存在最大值跟最小值?
      可是答案給最大值為[(根號2)-1]/2
                最小值為-[(根號2)+1]/2
      看了半天看不出來我哪裡算錯或是推倒有誤

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◆ From: 61.229.148.188
※ 編輯: ALiu            來自: 61.229.148.188       (10/04 01:30)
推 alamabarry:t有範圍阿～～正負根號2
→ zzzxxxqqq:(t^2-1)/(2+2t) = (1/2)*(t-1)  -√2 < t <√2
→ ALiu:我知道t有範圍...可是這應該不影響推倒判別式大於等於0吧?
→ zzzxxxqqq:y = t^2 ,t^2 - y = 0 ,D = 4y >= 0  y>=0
→ zzzxxxqqq:我限制 0 < t < 1 則 0 < y < 1
推 alamabarry:f(x)=(t^2-1)/(2+2t)=(t-1)/2
→ alamabarry:你寫的過程有個推論怪怪的～～因為t有範圍
→ alamabarry:沒辦法用判別是去決定出Y的範圍
→ alamabarry:t有特定範圍 應該比t為實數更加限定
推 shtmn:錯誤在這兩個答案要取交集而不是聯集
→ ALiu:恩恩...中間我沒注意到分子分母有公因式可以約掉
→ ALiu:所以y=(1/2)*(t-1) =>(-根號2)<=t=2y+1<=(根號2)
→ ALiu:這樣就可以定出y的範圍了...
→ ALiu:感謝大家的幫忙
→ zzzxxxqqq:說實在函數判別式求範圍真的很不實用，以後微積分學好點
→ zzzxxxqqq:就結束了
→ ALiu:不過高一教到這邊的時候應該都只能用這樣的方式來做吧?
→ zzzxxxqqq:當然我只是想說他不重要,高中解題目的小棋子而已
推 leonwingic:<80年夜大甲丙組>