[解題] 高中期望值問題!

[Tz (大凹)]

1.年級： 高二
2.科目： 數學
3.章節： 機率
4.題目：
        甲和乙賭博 乙作莊，乙有現金2的16次方元，

        遊戲規則是甲丟硬幣，只要丟出正面就可以繼續丟下一次，

        反之丟出反面就結束這一把賭博！

        若甲連續丟出n次正面，在第n+1次丟出反面，甲可以得到2的n次方元！

        請問每一把甲要先付給乙多少錢？才符合期望值原理！

        每把賭博，以甲丟出反面 或是 乙的錢在這一把就賠光為止！

5.想法：

        依序列出第幾次丟出反面的機率和該次甲所得到的獎金相乘..

       第一次就丟反面 機率：1/2     獎金:2^0  ==>相乘得 1/2

       第二次丟出反面 機率：1/(2^2) 獎金：2^1 ==>相乘得 1/2

       第三次.................................==>相乘得 1/2

                               以下略

       第16次.........機率：1/(2^16) 獎金：2^15 ==>相乘得 1/2

       第17次.........機率：1/(2^17) 獎金：2^16 ==>相乘得 1/2

       應該不能再丟第18次了吧..因為 乙的錢賠光了吧....

       所以就依序列到第17次囉....但問題來了？？？

       要是出現正面 就代表可以丟第18次...但是這樣的話 乙賠不起啊！

       所以當第16次正面出現是不是應該就停止遊戲囉！..

       所以就不該有丟第17次.....

       這有點矛盾..因為我不得不假設第17次出現反面...讓乙輸光的情形！

       前17次很簡單 都是期望值1/2 所以加起來就是8.5元...

       我原本想答案就是8.5元...

       但是正確的答案是9元....

       why?

       有點難解釋就對了！



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◆ From: 219.70.172.10
→ neco:我的想法是:當連續丟到16次正面的機率為1/2^16，但是丟不丟第
→ neco:十七次不用管了，因為如果是反面獎金是2^16，也就是說以剛好
→ neco:                                                    乙
→ neco:乙剛好輸光了，所以你寫的第十七次機率應該是1/2^16，期望值
→ neco:就是1/2^16 * 2^16 所以加總起來就是9
→ neco:簡單的說就是丟不丟第十七次並不會影響獎金，所以不應該把該
→ neco:次機率算進去。