推 phxcon:厲害 11/25 23:18
推 c14871083:leon大解題總能引經據典，強～ 11/25 23:21
※ 編輯: leonwingic 來自: 123.204.26.116 (11/26 06:38)
※ 引述《waynetrp (waynetrp)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：圓
: 4.題目：
: 設p為圓c：x^2+y^2=1上任一點，已知O（0，0)、Q(3，-2)
: 求三角形POQ面積之最大值＝√13/2
此題為<83年日大社會組>
請你務必學會畫圖求出此解 學會後再學柯西及和差化積
想請你順便求出當面積最大時,(x,y)座標為何?
此種類題希望你能跟學生講求出座標為何 雖然題目有些並沒有要我們求
例如
(1)拋物線 <77社><81夜大甲>
(2)橢圓 <72專四組><81自> <82台大夜><84夜大自><85日大自>
(3)...........etc
請你檢討完這題 再寫寫<81日大自>的橢圓類似題
: 5.想法：
: 不知道以下解法那裡出錯
: x^2+y^2=1
: 設三點為（x,y)(0,0)（3,2)
: △面積＝1/2∥(x,y) ∥
: ∥(3,-2)∥
: ＝1/2︱(-2x-3y)︱
= 1/2 |2x + 3y|
: ∵1/2〔(-2x)+(-3y)〕≧√6xy
(x^2 + y^2)(2^2 + 3^2) ≧ (2x+3y)^2
13 ≧ (2x+3y)^2
√13 ≧|2x+3y|
√13/2 ≧(1/2)|2x+3y|
: 又1/2〔(x^2)+(y^2)〕≧√x^2y^2
: ∴1/2≧xy
: ∴1/2〔(-2x)+(-3y)〕≧√3
: 和解答不同
: 先謝謝回答
提供其他解法
解法(1)
另外設x = cosθ , y = sinθ
則△POQ = 1/2 |2cosθ + 3sinθ|
而2cosθ+3sinθ = √13[(2/√13)cosθ + (3/√13)sinθ]
= √13[sinφcosθ+cosφsinθ]
= √13sin(φ+θ) (sinφ = 2/√13 , cosφ = 3/√13)
當sin(φ+θ) = 1和-1 時(即當φ+θ = + - π/2 時)有最大值
故√13 ≧|2cosθ+3sinθ|
√13/2 ≧1/2 |2cosθ + 3sinθ|
所以θ = π/2 - φ
x = cosθ = cos(π/2 - φ)= sinφ = 2/√13
y = sinθ = sin(π/2 - φ)= cosφ = 3/√13
故P(2/√13 , 3/√13)
P(-2/√13 , - 3/√13)
你是否解這堤從來沒畫過圖?
那就糟了
解法(2)畫圖
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=mrygcb&b=1&f=1143436601&p=8
如圖要求△POQ
OQ = √13 底一定
而要使△POQ面積最大 讓高最大即可
因此只要讓OP垂直OQ即可
故△POQ面積大為 △POQ = (1/2)(OQ)(OP) = (1/2)√13
因此這題國中生也可以做~~
動用到柯西跟和差化積 那就太大費周章了
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◆ From: 123.204.129.238
※ 編輯: leonwingic 來自: 123.204.129.238 (11/25 21:12)
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