談一題多解

[phxcon (楓之痕)]

　　　　一題多解是數學上常發生的情況，絕大多數的老師也都會一題多解。對於想要學

　　好數學的學生來說，能夠用兩種以上的方法來解同一題目，可以增加他對於數學結構

    的認知。因此有些時候我是會教學生兩種解法。

        但是，我並不建議學生在剛開始學習新概念或新題型的時候，就同時教兩種解法

　　給學生看，因為通常會造成混淆與干擾。而是要在學生已經對於基本解法清楚之後，

　　可以讓他知道有不同的想法來解題，要不要學看他自己。

        有些題目，雖然存在很多解法，也不一定都要教給學生，而是從中選出最適合學

    生的方法來教。這就需要老師的教學「經驗」以及對於數學題目的「閱歷」。

　　　　基本上，快的方法不見得是好的方法，因為可能必需要背很冷門的公式，例如一

　　個點對於一條直線的對稱點。要代公式一行就算完了，但是這個公式我也沒背過。如

　　果有老師教學生背這條公式，我是覺得滿離譜的。

        我認為一個好的解題方法，至少要符合以下三個原則：1.學生要能理解，並在考

    試中想得到。不然有些方法再快再漂亮，學生考試時一下忘記也沒用。2.解題過程不

    要拆成「太多」子步驟，計算時間在合理範圍內。3.方法用途廣泛，可以用來解其他

    題型。不過少數題型偏偏就是只有這種方法，那也沒辦法。這是指一般學生在段考範

    圍的題型而言，模擬考的題目另當別論。

　　　　有些題目的兩種解法都差不多，而有些題目雖然也可以一題多解，但是顯然有一

　　種解法是比較好，所以差不多算是唯一解。(說每道題目都有無限多種解法實在太離

　　譜，無限多可以這樣隨便用啊)
　　　
　　　　例如 f(x)= x^5 - 6x^4 + 3x^3 - 4x^2 +1 , 求f(7) 。這題當然直接把7代入

    也是一種解法，但是這種解法可行性並不高。不管是哪一本書，都是餘式定理來做。

　　又例如去年的指考數乙第一題，問地球的表面積接近哪個值，這題至少有三種解法：

    1.用地球半徑6400公里去算 2.從答案反過來估計北美洲跟地表面積的比 3.從北美洲

    佔地表面積的比例去算地表面積。我看過參考書用第三種方法，問題是誰記得這個比

　　例是多少，很不合理的解法。(也許有些地理奇才知道)

　　　　長久以來，一直認為數學解題與下棋有著相當密切的關係。在念數學系的時候，

    系上有許多象棋好手，光靠數學系的學生就可以派一隊去參加大專盃比賽了。尤其是

　　象棋的殘局，根本就像是一道數學題目，要從各種可能的方法中找到一條路線進攻。

    這幾天看到一題多解這件事，又有了另一層的體悟：同樣一個盤面，拿去問不同的人

　　該怎麼下，可能會出現三四種走法，選擇同樣走法的人程度大概都是差不多的。當然

    有時會有一種走法是高高手才想得到，而別人都想不到神乎奇技的一著。

    PS:僅心得分享，請勿推文，我不會看也不會回的。

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◆ From: 118.160.50.69
推 luckseven:不管是哪一本書，都是餘式定理來做??
→ luckseven:怎麼我前幾天上的"課本" 用綜合除法
推 ultimateve:樓上 原PO的意思是指用餘式定理作出發 用綜合除法求解
→ zzzxxxqqq:綜合除法之所以可以用，就是因為餘式定理..
推 Egriawei:哪個學校數學系象棋這麼強?台大?
推 luckseven:所以 餘式定理=綜合除法?  我請教原po比較好的解法
推 ehero:餘式定理f(x)除以x-c的餘式就是f(c),除法部份可以用綜合除法
→ ehero:做,luckseven觀念有誤喔~
推 luckseven:樓上 你定義都寫這麼清楚了,還說我觀念有誤?
推 ehero:原po就是說這題的觀念就是餘式定理阿 = = 綜合除法只是在做
→ ehero:式時可以比較快,也不是這一題的核心觀念吧!!
→ ehero:剛漏掉一個字:綜合除法目的只是快速求餘式,也可以用長除法
→ ehero:我是覺得你觀念和作法不分才提出來的,這邊不少學生會搞錯
→ ehero:變成看到這種題目然後直接被綜合除法的解法
推 luckseven:請問你這題餘式定理的做法?!
推 zzzxxxqqq:.........
推 ehero:f(7)=f(x)/(x-7)的餘式阿 然後過程用綜合除法解..
→ ehero:看來L板友可能要先去把課本定義弄熟唷 XDD
推 luckseven:你的定義勒? 不是寫f(7)?
→ ehero:題目不就是在問f(7),還是你看錯題目了 ^^a
推 luckseven:那f(7)不就是餘式定理?
推 ehero:我已經無言了..都說那麼清楚了...
→ ehero:妳再做的粽合除法就是在做f(x)/(x-7)這個過程阿
→ luckseven:我只問你f(7)是不是餘式定理?
→ ehero:觀念就是利用餘式定理  我們知道f(7)就是那個除法的餘式...
推 luckseven:請你你這個餘式定理 跟 f(7) 把7代入有啥不一樣y
→ luckseven:綜合除法 不是 餘式定理
推 ehero:不一樣阿 因為利用餘式定理  我們只要知道求餘式就可以知道
→ ehero:f(7)函數值...
→ ehero:為了要求餘式  所以用了綜合除法  這樣還不懂我真的不知道了
推 doa2:到底在爭什麼　如果不知道餘式定理最好是會用綜合除法
推 doa2:照這樣說長除法也可以阿  當然是為了求餘式才用到綜合除法
→ endlesschaos:我倒是覺得教學生背點到直線的距離沒什麼好離譜的
→ endlesschaos:另外我還是第一次看到叫人「請勿推文」的XD
推 flydick:他是說背給定一點直接算對稱點的公式吧,樓上好像看錯
→ endlesschaos:Yes  一時眼殘了  不過我還是覺得學生要背不背看他爽
→ endlesschaos:不爽就好  像某補習班讓學生背的什麼38324、14122 要
→ endlesschaos:說沒意義也的確是沒意義 不過背了在考試可以直接用
→ endlesschaos:在考試時多拿一點分也未嘗不可