Re: [請益] 圓錐曲線

[InsIdE (慢慢長大)]

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作者: InsIdE (慢慢長大) 看板: SENIORHIGH
標題: Re: [請益] 圓錐曲線
時間: Sat Dec 13 22:24:20 2008


: 雙曲線本來是沒有ｂ的
: 根據原始定義
: ｜ＰＦ1-ＰＦ2｜＝2ａ
: 設ｆ1ｆ2為（0　ｃ）和（0　-ｃ）
: 所以得到
: [(x-c^2]+y^2]^0.5 = [(x+c^2]+y^2]^0.5 ± 2a
: 兩邊平方整再平方以後
: 可得
: (c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2)
: 又因為a^2<c^2 就令b=(c^2-a^2)^0.5
: 帶入以後就得到標準式了
: 所以那個東西是令出來的
: 這樣才會讓方程式好看
: 應該是這樣吧?
: 至餘味什麼b就是等軸雙曲線的a還沒想到....


我之所以會問雙曲線為何c^2=b^2+a^2是因為如果妳在雙曲線中間畫一個輔助矩形

                 Y
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  \              |             /
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      \     _____|h_____    /
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_________\ |_____|_____| /____________ Ｘ  不好意思　不太會畫圖
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此矩形之對角線為雙曲線漸近線　且　矩形一邊切於雙曲線頂點頂點。

原點到雙曲線頂點長度剛好會等於a，這點相當容易理解。

而原點往上到h點的長度會剛好是b因為雙曲線之斜率為(+-b/a)。

換句話說對角線會剛好等於c。

我相信這不是巧合，所以我想請問到底要如何用幾何的概念來找出c^2=b^2+a^2

至於某位板友所問的為何等軸雙曲線a=b?

是因為「等軸雙曲線是因為貫軸與對稱軸長度」相等

故照圖面解釋會得到a=b。

總而言之，

雙曲線的公式幾乎都由此矩形而來，教導學生最重要的是讓他認識此輔助矩形

此矩形一熟，七成雙曲線題目便迎刃而解。


而在下卻找不到用幾何關係證明c^2=a^2+b^2


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◆ From: 140.116.112.22
※ 編輯: InsIdE          來自: 140.116.112.22       (12/13 22:25)
推 songhome:我剛剛試著用幾何方法證明看看
→ songhome:不過想不到證法...我覺得有兩個重要關鍵
→ songhome:漸近線的性質和雙曲線的定義
→ songhome:想不到要怎麼套進去
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◆ From: 140.116.112.22
推 phxcon:過F對漸近線作垂線,垂足為C, 證明△OFC全等△OBA,則OB=OF=c
推 phxcon:記錯了, 不用理我