推 newfox:謝謝 12/26 15:24
※ 引述《newfox (kkkk)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：多項式
: 4.題目：
: 設多項式f(x)滿足下列兩條件：
: (1) x^2+1除f(x)之餘數為x-3
: (2) 對任意時數t，恆使f(t^2)=(t^3+4t)f(t-1)+6t^2成立。
: 試問下列敘述哪些正確？
: (1) f(0)=0 (2) f(1)=6 (3) f(x)為四次多項式
: (4) f(x)除以x^2+1所得之商式為x+3 (5) 若-5< x <-3，則f(x)>0
: 答案：1.2.4
依題意可得:
f(x) = (x^2+1)Q(x) + x-3 ...(a)
f(t^2) = (t^3+4t)f(t-1) + 6t^2 ...(b)
(1) t=0 代入(b) => f(0) = 0
(2) t=1 代入(b) => f(1) = 5f(0) + 6 = 6
(3) 令f(x)為n次多項式
t=x 代入(b)
=> f(x^2) = (x^3+4x) f(x-1) + 6x^2
^^^^^^ ^^^^^^^^ ^^^^^^ ^^^^
2n次 3次 n次 2次
∴ 2n = n+3 => n=3
(4) 由(3) 令(a)中的Q(x)=(ax+b)
再將f(0)=0, f(1)=6代入
解a=1,b=3
=> f(x)除以x^2+1所得之商式為x+3
(5) 將(4)之解代入(a) 展開 整理 因式分解
=> f(x) = x(x+1)(x+2)
畫圖 => 若-5<x<-3 則f(x)<0
: 5.想法：
: f(x)= Q(x)f(x)+(x-3)
: x=t^2代入
: f(t^2)=Q(t^2)f(t^2)+(t^2-3)........眼殘找不到關係
: (1) 令t^2=0 --> t=0 代入 --> f(0)=0 ......yes
: (2) 令t^2=1 --> t=1 代入 --> f(1)=6
: or t=-1 代入 --> f(-1)=(-5)f(-2)..........這裡卡關 = =
: (3) 想不到
: (4) 沒概念，只知道(3)、(4)互斥
: (5) 沒概念
: 一整個很難下手，先謝過各位大大
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