[解題] 高一數學 函數

[doragreen (百寶袋)]

1.年級：高一
2.科目：數學
3.章節：函數
4.題目：

        a,b,c為三相異實數,且

                a(x+a)^2       b(x+b)^2       c(x+c)^2
        f(x) = ----------  +  ----------  +  ----------
               (a-b)(a-c)     (b-c)(b-a)     (c-a)(c-b)

        求 f( -(a+b+b)/2 ) = ?

        答案是0

5.想法：

        我一開始是想說這類型的題目大多是x分別用-a.-b.-c代入消掉後會是一樣的

        數字，然後因為這是二次函數，所以可以推斷它是一個常數函數，然後求得答

        案。可是用-a.-b.-c代入函數分別得b+c-a,a+c-b,a+b-c,所以它不是常數函數

        原本的想法失敗。


        然後我第二個想法是因為這種題目不可能是真的要用-(a+b+c)/2代入，所以我

        假設-(a+b+c)/2是這個二次函數跟y軸的其中一個交點，所以我先令f(x)=0，

        想看能不能推得 x = -(a+b+c)/2 ，結果還是不行，到最後x平方項會消掉，

        可是一次項係數會等於a^2b-ab^2....之類的東西，加上常數項也是這樣的情

        型，我沒辦法重新提出公因式把它消掉，所以這個方法也不行。


        第三個想法是直接把-(a+b+c)/2 代入，看能不能消掉，結果平方以後也是沒有

        辦法跟分母消掉，而且整個式子變的更複雜....


        因為卡很久了，所以想說請大家幫我看一下，

        看能不能討論一下看有沒有其他的解法，謝謝 ^^


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◆ From: 61.228.81.45
※ 編輯: doragreen       來自: 61.228.81.45         (01/11 21:00)
推 chuo:整個f(x)通分看看?
→ doragreen:也不行耶 !! 我通分過了...
→ doragreen:一樣沒辦法消掉...Orz
※ 編輯: doragreen       來自: 61.228.81.45         (01/11 21:06)
推 blackpiano:x^2項的係數為0....如果我沒算錯的話XD
→ blackpiano:所以為一次函數 => 有f(a+b)=f(a)+f(b)的性質
→ blackpiano:ㄝ...上一推我想清楚點XD
→ doragreen:呵呵  X平方項係數是0應該沒錯  因為我也是算0 :P
→ blackpiano:應該說f((a+b)/2)=(f(a)+f(b))/2 這樣應該能算了吧!?
→ doragreen:可是 f(a+b) 可以變成 f(a)+f(b)嘛 @@?
推 blackpiano:f(a+b)不一定=f(a)+f(b) 我推這個的時候沒想清楚@@
→ blackpiano:但是f((a+b)/2)=(f(a)+f(b))/2應該沒錯
→ blackpiano:然後可以推廣到f((a+b+c)/3)=(f(a)+f(b)+f(c))/3
推 doa2:事實上f(x)=a+b+c-2x
→ doragreen:若 f(x) = ax+b  f(2+3)/2 好像不等於[f(2)+f(3)]/2耶
→ doragreen:請問doa2  f(x)這個是怎麼推成 a+b+c-2x的 ??
推 blackpiano:f((2+3)/2) 不是 f(2+3)/2
→ doragreen:阿阿   對  不好意思   我會錯意 XD 謝謝
→ doragreen:所以要用b大的想法解題的話必須要先確定是一次函數囉 !?
→ doragreen:謝謝b大跟d大 ^^
→ doragreen:還有c大 :P
推 doa2:就是把-a,-b,-c代進去就可以明顯觀察得了XD